Номер 136, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 136, страница 379.

136 a) $33 \cdot 2^{x-1} - 2^{x+1} = 29;$

б) $33 \cdot 3^{x-2} + 3^{x+1} = 60.$

а) Решим уравнение $33 \cdot 2^{x-1} - 2^{x+1} = 29$.
Сначала преобразуем степени, используя свойства $a^{m-n} = a^m \cdot a^{-n}$ и $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$
$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$33 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 2^x\right) - 2 \cdot 2^x = 29$
$\frac{33}{2} \cdot 2^x - 2 \cdot 2^x = 29$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x \cdot \left(\frac{33}{2} - 2\right) = 29$
Вычислим значение в скобках:
$\frac{33}{2} - 2 = \frac{33}{2} - \frac{4}{2} = \frac{29}{2}$
Уравнение принимает вид:
$2^x \cdot \frac{29}{2} = 29$
Чтобы найти $2^x$, разделим обе части уравнения на $\frac{29}{2}$:
$2^x = 29 : \frac{29}{2} = 29 \cdot \frac{2}{29}$
$2^x = 2$
Так как $2 = 2^1$, получаем:
$x = 1$
Ответ: $1$.

б) Решим уравнение $33 \cdot 3^{x-2} + 3^{x+1} = 60$.
Преобразуем степени с переменной $x$:
$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^x$
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$33 \cdot \left(\frac{1}{9} \cdot 3^x\right) + 3 \cdot 3^x = 60$
$\frac{33}{9} \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = 60$
Сократим дробь $\frac{33}{9}$ на 3:
$\frac{11}{3} \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x = 60$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x \cdot \left(\frac{11}{3} + 3\right) = 60$
Вычислим значение в скобках:
$\frac{11}{3} + 3 = \frac{11}{3} + \frac{9}{3} = \frac{20}{3}$
Уравнение принимает вид:
$3^x \cdot \frac{20}{3} = 60$
Найдем $3^x$, разделив обе части на $\frac{20}{3}$:
$3^x = 60 : \frac{20}{3} = 60 \cdot \frac{3}{20}$
$3^x = 3 \cdot 3 = 9$
Представим 9 как степень числа 3:
$3^x = 3^2$
Отсюда следует, что:
$x = 2$
Ответ: $2$.