Номер 133, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 133, страница 379.

133 a) $10^x = 0.01$;

б) $10^x = 0.00001$;

в) $\left(\frac{1}{10}\right)^x = 100$;

г) $\left(\frac{1}{10}\right)^x = 1000$.

а)

Дано показательное уравнение $10^x = 0,01$.

Для решения необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. В данном случае, это основание 10.

Представим десятичную дробь $0,01$ в виде степени числа 10. Мы знаем, что $0,01 = \frac{1}{100}$.

Так как $100 = 10^2$, то $\frac{1}{100} = \frac{1}{10^2}$.

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем, что $\frac{1}{10^2} = 10^{-2}$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$10^x = 10^{-2}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = -2$

Ответ: $-2$.

б)

Дано показательное уравнение $10^x = 0,00001$.

Приведем правую часть уравнения к основанию 10.

Представим десятичную дробь $0,00001$ как степень числа 10.

$0,00001 = \frac{1}{100000} = \frac{1}{10^5}$.

Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:

$\frac{1}{10^5} = 10^{-5}$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$10^x = 10^{-5}$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x = -5$

Ответ: $-5$.

в)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{10})^x = 100$.

Приведем обе части уравнения к одному основанию, например, к основанию 10.

Преобразуем левую часть. Используя свойство $\frac{1}{a} = a^{-1}$, получаем:

$\frac{1}{10} = 10^{-1}$.

Тогда левая часть уравнения станет $(\frac{1}{10})^x = (10^{-1})^x$. По свойству степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $10^{-x}$.

Преобразуем правую часть: $100 = 10^2$.

Теперь уравнение выглядит так:

$10^{-x} = 10^2$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$-x = 2$

$x = -2$

Ответ: $-2$.

г)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{10})^x = 1000$.

Приведем обе части уравнения к основанию 10.

Левая часть: $(\frac{1}{10})^x = (10^{-1})^x = 10^{-x}$.

Правая часть: $1000 = 10^3$.

Подставляем полученные выражения в уравнение:

$10^{-x} = 10^3$

Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней:

$-x = 3$

$x = -3$

Ответ: $-3$.