Номер 128, страница 378 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмы. Задания для повторения - номер 128, страница 378.

128 a) $log_{600} 900$, если $a = log_5 2$ и $b = log_2 3$;

б) $log_{140} 350$, если $a = log_7 5$ и $b = log_5 2$;

в) $log_{300} 120$, если $a = log_2 3$ и $b = log_3 5$;

г) $log_{490} 700$, если $a = log_2 7$ и $b = log_7 5$.

а) Дано: $a = \log_5 2$ и $b = \log_2 3$. Требуется найти $\log_{600} 900$.

Приведем все логарифмы к основанию 2. Из условия имеем: $\log_2 3 = b$. Из $a = \log_5 2$ следует, что $\log_2 5 = \frac{1}{\log_5 2} = \frac{1}{a}$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_{600} 900 = \frac{\log_2 900}{\log_2 600}$.

Разложим числа 900 и 600 на простые множители: $900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$ и $600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$ и $b$:

$\log_2 900 = \log_2 (2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2) = 2\log_2 2 + 2\log_2 3 + 2\log_2 5 = 2 \cdot 1 + 2b + 2 \cdot \frac{1}{a} = 2 + 2b + \frac{2}{a}$.

$\log_2 600 = \log_2 (2^3 \cdot 3 \cdot 5^2) = 3\log_2 2 + \log_2 3 + 2\log_2 5 = 3 \cdot 1 + b + 2 \cdot \frac{1}{a} = 3 + b + \frac{2}{a}$.

Подставим полученные выражения в дробь и упростим, умножив числитель и знаменатель на $a$:

$\log_{600} 900 = \frac{2 + 2b + \frac{2}{a}}{3 + b + \frac{2}{a}} = \frac{a(2 + 2b + \frac{2}{a})}{a(3 + b + \frac{2}{a})} = \frac{2a + 2ab + 2}{3a + ab + 2}$.

Ответ: $\frac{2a + 2ab + 2}{3a + ab + 2}$

б) Дано: $a = \log_7 5$ и $b = \log_5 2$. Требуется найти $\log_{140} 350$.

Приведем все логарифмы к основанию 5. Из условия имеем: $\log_5 2 = b$. Из $a = \log_7 5$ следует, что $\log_5 7 = \frac{1}{\log_7 5} = \frac{1}{a}$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_{140} 350 = \frac{\log_5 350}{\log_5 140}$.

Разложим числа 350 и 140 на простые множители: $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$ и $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$.

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$ и $b$:

$\log_5 350 = \log_5 (2 \cdot 5^2 \cdot 7) = \log_5 2 + 2\log_5 5 + \log_5 7 = b + 2 \cdot 1 + \frac{1}{a} = b + 2 + \frac{1}{a}$.

$\log_5 140 = \log_5 (2^2 \cdot 5 \cdot 7) = 2\log_5 2 + \log_5 5 + \log_5 7 = 2b + 1 + \frac{1}{a}$.

Подставим полученные выражения в дробь и упростим, умножив числитель и знаменатель на $a$:

$\log_{140} 350 = \frac{b + 2 + \frac{1}{a}}{2b + 1 + \frac{1}{a}} = \frac{a(b + 2 + \frac{1}{a})}{a(2b + 1 + \frac{1}{a})} = \frac{ab + 2a + 1}{2ab + a + 1}$.

Ответ: $\frac{ab + 2a + 1}{2ab + a + 1}$

в) Дано: $a = \log_2 3$ и $b = \log_3 5$. Требуется найти $\log_{300} 120$.

Приведем все логарифмы к основанию 2. Из условия имеем: $\log_2 3 = a$. По свойству логарифмов, $b = \log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3} = \frac{\log_2 5}{a}$, откуда $\log_2 5 = ab$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_{300} 120 = \frac{\log_2 120}{\log_2 300}$.

Разложим числа 120 и 300 на простые множители: $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ и $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$ и $b$:

$\log_2 120 = \log_2 (2^3 \cdot 3 \cdot 5) = 3\log_2 2 + \log_2 3 + \log_2 5 = 3 \cdot 1 + a + ab = a + ab + 3$.

$\log_2 300 = \log_2 (2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) = 2\log_2 2 + \log_2 3 + 2\log_2 5 = 2 \cdot 1 + a + 2ab = a + 2ab + 2$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\log_{300} 120 = \frac{a + ab + 3}{a + 2ab + 2}$.

Ответ: $\frac{ab + a + 3}{2ab + a + 2}$

г) Дано: $a = \log_2 7$ и $b = \log_7 5$. Требуется найти $\log_{490} 700$.

Приведем все логарифмы к основанию 2. Из условия имеем: $\log_2 7 = a$. По свойству логарифмов, $b = \log_7 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 7} = \frac{\log_2 5}{a}$, откуда $\log_2 5 = ab$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_{490} 700 = \frac{\log_2 700}{\log_2 490}$.

Разложим числа 700 и 490 на простые множители: $700 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$ и $490 = 2 \cdot 5 \cdot 7^2$.

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$ и $b$:

$\log_2 700 = \log_2 (2^2 \cdot 5^2 \cdot 7) = 2\log_2 2 + 2\log_2 5 + \log_2 7 = 2 \cdot 1 + 2ab + a = 2ab + a + 2$.

$\log_2 490 = \log_2 (2 \cdot 5 \cdot 7^2) = \log_2 2 + \log_2 5 + 2\log_2 7 = 1 + ab + 2a = ab + 2a + 1$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\log_{490} 700 = \frac{2ab + a + 2}{ab + 2a + 1}$.

Ответ: $\frac{2ab + a + 2}{ab + 2a + 1}$