Номер 125, страница 377 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Логарифмы - номер 125, страница 377.

Условие.

125 a) $\log_6 4 + \log_6 9 + \log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2 + 5^{\log_5 2}$;

б) $\log_4 100 + \log_2 12 - 2 \log_2 \sqrt{30} + 3^{\log_3 4}$;

в) $\log_4 36 + \log_2 10 - 2 \log_2 \sqrt{15} + 4^{2^{\frac{1}{2}\log_2 5}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $\log_6 4 + \log_6 9 + \log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2 + 5^{\log_5 2}$

Для решения этого выражения, разобьем его на части и упростим каждую из них.

1. Упростим сумму логарифмов $\log_6 4 + \log_6 9$. По свойству суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a b + \log_a c = \log_a(b \cdot c)$:
$\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6(4 \cdot 9) = \log_6 36$.
Так как $6^2 = 36$, то $\log_6 36 = 2$.

2. Упростим произведение $\log_4 6 \cdot \log_{\sqrt{6}} 2$. Для этого воспользуемся свойствами логарифмов, в частности, свойством $\log_{a^k}b = \frac{1}{k}\log_a b$ и свойством $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ (или $\log_a b \cdot \log_b a = 1$):
$\log_4 6 = \log_{2^2} 6 = \frac{1}{2}\log_2 6$.
$\log_{\sqrt{6}} 2 = \log_{6^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2}\log_6 2 = 2\log_6 2$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$(\frac{1}{2}\log_2 6) \cdot (2\log_6 2) = \log_2 6 \cdot \log_6 2 = 1$.

3. Упростим выражение $5^{\log_5 2}$. Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$5^{\log_5 2} = 2$.

4. Сложим все полученные значения:
$2 + 1 + 2 = 5$.

Ответ: 5

б) $\log_4 100 + \log_2 12 - 2 \log_2 \sqrt{30} + 3^{\log_3 4}$

Для решения приведем все логарифмы к одному основанию и используем их свойства.

1. Приведем $\log_4 100$ к основанию 2:
$\log_4 100 = \log_{2^2} 10^2 = \frac{2}{2}\log_2 10 = \log_2 10$.

2. Упростим выражение $2 \log_2 \sqrt{30}$. По свойству $k \log_a b = \log_a b^k$:
$2 \log_2 \sqrt{30} = \log_2((\sqrt{30})^2) = \log_2 30$.

3. Упростим выражение $3^{\log_3 4}$. По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$3^{\log_3 4} = 4$.

4. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$\log_2 10 + \log_2 12 - \log_2 30 + 4$.
Объединим логарифмы, используя свойства суммы и разности логарифмов:
$\log_2(10 \cdot 12) - \log_2 30 + 4 = \log_2 120 - \log_2 30 + 4 = \log_2(\frac{120}{30}) + 4 = \log_2 4 + 4$.

5. Вычислим итоговое значение:
$\log_2 4 = 2$, следовательно $2 + 4 = 6$.

Ответ: 6

в) $\log_4 36 + \log_2 10 - 2 \log_2 \sqrt{15} + 4^{\frac{1}{2}\log_2 5}$

Решим по аналогии с предыдущими примерами, упрощая каждое слагаемое.

1. Приведем $\log_4 36$ к основанию 2:
$\log_4 36 = \log_{2^2} 6^2 = \frac{2}{2}\log_2 6 = \log_2 6$.

2. Упростим выражение $2 \log_2 \sqrt{15}$:
$2 \log_2 \sqrt{15} = \log_2((\sqrt{15})^2) = \log_2 15$.

3. Упростим выражение $4^{\frac{1}{2}\log_2 5}$. Воспользуемся свойствами степени:
$4^{\frac{1}{2}\log_2 5} = (4^{1/2})^{\log_2 5} = 2^{\log_2 5}$.
По основному логарифмическому тождеству $2^{\log_2 5} = 5$.

4. Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$\log_2 6 + \log_2 10 - \log_2 15 + 5$.
Объединим логарифмы:
$\log_2(6 \cdot 10) - \log_2 15 + 5 = \log_2 60 - \log_2 15 + 5 = \log_2(\frac{60}{15}) + 5 = \log_2 4 + 5$.

5. Вычислим итоговое значение:
$\log_2 4 = 2$, следовательно $2 + 5 = 7$.

Ответ: 7