Номер 119, страница 377 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 119, страница 377.

119 а) Рассматриваются геометрические прогрессии, у каждой из которых первый член равен $10$, сумма первого и третьего членов — целое число, кратное $4$ и не превосходящее $1000$, а знаменатель $q > 1$. Укажите знаменатели всех таких прогрессий.

б) Рассматриваются геометрические прогрессии, у каждой из которых третий член равен $8$, сумма первого и второго членов — целое число, кратное $5$ и не превосходящее $500$, а знаменатель $0 < q < 1$. Укажите знаменатели всех таких прогрессий.

а)

Пусть $b_1, b_2, b_3, \dots$ – члены геометрической прогрессии, а $q$ – её знаменатель. По условию, первый член прогрессии $b_1 = 10$, а знаменатель $q > 1$.

Сумма первого и третьего членов равна $S = b_1 + b_3$. Используя формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 q^{n-1}$, находим третий член: $b_3 = b_1 q^2 = 10q^2$. Тогда сумма $S = 10 + 10q^2 = 10(1 + q^2)$.

Согласно условию, сумма $S$ является целым числом, кратным четырём, и не превосходит 1000. Запишем эти условия в виде системы неравенств и свойств:

1. $S$ – целое число.
2. $S \le 1000$.
3. $S$ кратно 4, то есть $S = 4k$ для некоторого целого $k$.

Из выражения $S = 10(1 + q^2)$ следует, что $S$ делится на 10. Поскольку $S$ должно быть кратно и 4, и 10, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному, то есть НОК(4, 10) = 20. Таким образом, $S$ должно быть числом, кратным 20.

Также, по условию $q > 1$, следовательно, $q^2 > 1$. Тогда $1 + q^2 > 2$, и $S = 10(1 + q^2) > 10 \cdot 2 = 20$. Итак, мы ищем значения $S$, которые удовлетворяют условиям: $S$ кратно 20 и $20 < S \le 1000$. Это означает, что $S$ может принимать значения из множества $\{40, 60, 80, \dots, 1000\}$.

Для каждого такого значения $S$ мы можем найти соответствующее значение $q^2$: $S = 10(1 + q^2) \implies \frac{S}{10} = 1 + q^2 \implies q^2 = \frac{S}{10} - 1$. Так как $q>1$, мы ищем положительный корень: $q = \sqrt{\frac{S}{10} - 1}$.

Подставим возможные значения $S$:

• Если $S=40$, то $q^2 = \frac{40}{10} - 1 = 3$. Тогда $q = \sqrt{3}$.
• Если $S=60$, то $q^2 = \frac{60}{10} - 1 = 5$. Тогда $q = \sqrt{5}$.
• Если $S=80$, то $q^2 = \frac{80}{10} - 1 = 7$. Тогда $q = \sqrt{7}$.
• ...
• Если $S=1000$, то $q^2 = \frac{1000}{10} - 1 = 99$. Тогда $q = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$.

Таким образом, $q^2$ может быть любым нечётным целым числом от 3 до 99 включительно. Знаменатели $q$ всех таких прогрессий образуют множество $\{\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \dots, \sqrt{99}\}$.

Ответ: $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, \dots, \sqrt{99}$ (или, что то же самое, $\sqrt{n}$, где $n$ — любое нечётное целое число от 3 до 99).

б)

По условию, третий член геометрической прогрессии $b_3 = 8$, а знаменатель $q$ удовлетворяет неравенству $0 < q < 1$.

Выразим первый и второй члены прогрессии через $b_3$ и $q$: $b_3 = b_1 q^2 \implies b_1 = \frac{b_3}{q^2} = \frac{8}{q^2}$. $b_2 = b_1 q = \frac{8}{q^2} \cdot q = \frac{8}{q}$.

Сумма первого и второго членов $S = b_1 + b_2 = \frac{8}{q^2} + \frac{8}{q} = \frac{8(1+q)}{q^2}$. По условию, $S$ — целое число, кратное пяти, и $S \le 500$. Поскольку $q>0$, то $S>0$. Значит, $S$ может принимать значения из множества $\{5, 10, 15, \dots, 500\}$.

Так как $b_3=8$ (рациональное число) и $S=b_1+b_2$ (целое, а значит рациональное число), то знаменатель $q$ также должен быть рациональным числом. Представим $q$ в виде несократимой дроби $q = \frac{p}{r}$, где $p$ и $r$ — натуральные числа. Из условия $0 < q < 1$ следует, что $p < r$.

Подставим $q = \frac{p}{r}$ в выражение для $S$: $S = \frac{8(1 + p/r)}{(p/r)^2} = \frac{8 \cdot \frac{r+p}{r}}{p^2/r^2} = \frac{8r(r+p)}{p^2}$. Поскольку $S$ — целое число, $p^2$ должен делить числитель $8r(r+p)$. Дробь $\frac{p}{r}$ несократима, значит НОД$(p, r)=1$. Отсюда следует, что НОД$(p, r+p) = $ НОД$(p,r)=1$. Так как $p$ взаимно просто с $r$ и с $r+p$, то $p^2$ также взаимно просто с $r$ и с $r+p$. Следовательно, для того чтобы $S$ было целым, $p^2$ должен делить 8. Целые квадраты, которые являются делителями числа 8, — это 1 и 4.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $p^2=1 \implies p=1$. Знаменатель $q = \frac{1}{r}$. Так как $p < r$, то $1 < r$. Сумма $S = \frac{8r(r+1)}{1^2} = 8r(r+1)$. $S$ должно быть кратно 5 и $S \le 500$. $8r(r+1) \le 500 \implies r(r+1) \le \frac{500}{8} = 62.5$. Так как 8 и 5 взаимно просты, то $r(r+1)$ должно быть кратно 5. Это возможно, если $r$ или $r+1$ кратно 5. Проверим целые значения $r > 1$, удовлетворяющие $r(r+1) \le 62.5$:

• $r=2: r(r+1) = 6$. Ни $r=2$, ни $r+1=3$ не кратны 5.
• $r=3: r(r+1) = 12$. Ни $r=3$, ни $r+1=4$ не кратны 5.
• $r=4: r(r+1) = 20$. $r+1=5$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{1}{4}$.
• $r=5: r(r+1) = 30$. $r=5$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{1}{5}$.
• $r=6: r(r+1) = 42$. Ни $r=6$, ни $r+1=7$ не кратны 5.
• $r=7: r(r+1) = 56$. Ни $r=7$, ни $r+1=8$ не кратны 5.
• $r=8: r(r+1) = 72 > 62.5$. Дальнейшие значения $r$ не подходят.

В этом случае получаем два решения: $q=\frac{1}{4}$ и $q=\frac{1}{5}$.

Случай 2: $p^2=4 \implies p=2$. Знаменатель $q = \frac{2}{r}$. Так как $p<r$, то $2<r$. Так как дробь несократима (НОД(2,r)=1), $r$ должно быть нечётным. Сумма $S = \frac{8r(r+2)}{2^2} = 2r(r+2)$. $S$ должно быть кратно 5 и $S \le 500$. $2r(r+2) \le 500 \implies r(r+2) \le 250$. Так как 2 и 5 взаимно просты, $r(r+2)$ должно быть кратно 5. Это возможно, если $r$ или $r+2$ кратно 5. Проверим нечётные значения $r > 2$, удовлетворяющие $r(r+2) \le 250$:

• $r=3: r(r+2) = 15$. $r+2=5$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{2}{3}$.
• $r=5: r(r+2) = 35$. $r=5$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{2}{5}$.
• $r=7: r(r+2) = 63$. Не кратно 5.
• $r=9: r(r+2) = 99$. Не кратно 5.
• $r=11$: $r(r+2) = 143$. Не кратно 5.
• $r=13: r(r+2) = 195$. $r+2=15$ кратно 5. Подходит. $q = \frac{2}{13}$.
• $r=15$: $r$ кратно 5, но НОД(2,15) не равно 1. Не подходит, так как $q = 2/15$ — сократимая дробь, а мы рассматриваем $p=2$.
• $r=17: r(r+2) = 17 \cdot 19 = 323 > 250$. Дальнейшие значения не подходят.

В этом случае получаем три решения: $q=\frac{2}{3}$, $q=\frac{2}{5}$, $q=\frac{2}{13}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем все возможные знаменатели.

Ответ: $\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{3}, \frac{2}{5}, \frac{2}{13}$.