Номер 113, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 113, страница 375.

113 Найдите сумму первых четырёх членов возрастающей геометрической прогрессии, сумма первых трёх членов которой равна $13$, а второй член равен $3$.

Пусть $b_1$ — первый член возрастающей геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Из условия задачи нам известны:

• Сумма первых трёх членов: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = 13$
• Второй член: $b_2 = 3$
• Прогрессия является возрастающей, что при положительных членах означает $q > 1$.

Члены геометрической прогрессии связаны формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Выразим первый и третий члены через второй член $b_2$:
$b_1 = \frac{b_2}{q} = \frac{3}{q}$
$b_3 = b_2 \cdot q = 3q$

Теперь подставим эти выражения в формулу для суммы первых трёх членов: $S_3 = b_1 + b_2 + b_3 = \frac{3}{q} + 3 + 3q = 13$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $q$:
$\frac{3}{q} + 3q = 13 - 3$
$\frac{3}{q} + 3q = 10$

Умножим обе части уравнения на $q$ (поскольку $q \ne 0$):
$3 + 3q^2 = 10q$
$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$
$q_1 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$q_2 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$

По условию прогрессия является возрастающей. Проверим оба значения $q$:

• Если $q = 1/3$, то прогрессия будет убывающей ($b_1 = 3/(1/3) = 9$, члены: $9, 3, 1, ...$). Этот вариант не подходит.
• Если $q = 3$, то прогрессия будет возрастающей ($b_1 = 3/3 = 1$, члены: $1, 3, 9, ...$). Этот вариант соответствует условию.

Таким образом, мы определили, что $b_1 = 1$ и $q = 3$.

Теперь необходимо найти сумму первых четырёх членов прогрессии, $S_4$. Для этого сначала найдем четвертый член $b_4$:
$b_4 = b_3 \cdot q = (b_2 \cdot q) \cdot q = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$

Сумма первых четырёх членов $S_4$ равна сумме первых трёх членов $S_3$ плюс четвёртый член $b_4$:
$S_4 = S_3 + b_4 = 13 + 27 = 40$

Ответ: 40