Номер 110, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 110, страница 375.

110 a) Найдите двадцатый член возрастающей арифметической прогрессии ${a_n}$, если $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 34$, а $a_2 \cdot a_5 = 52$.

б) Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что сумма первого и пятого её членов равна 4, а разность квадратов второго и первого её членов равна 1.

а) Пусть $d$ - разность арифметической прогрессии $\{a_n\}$. По условию, прогрессия возрастающая, значит $d>0$. Нам даны два условия:
1) $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = 34$
2) $a_2 \cdot a_5 = 52$
Воспользуемся свойством арифметической прогрессии: сумма членов, равноудаленных от концов, одинакова. В данном случае, $a_2+a_5 = a_3+a_4$. Тогда первое уравнение можно переписать как $(a_2+a_5) + (a_3+a_4) = 34$, или $2(a_2+a_5) = 34$. Отсюда получаем $a_2+a_5 = 17$.
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $a_2$ и $a_5$:
$ \begin{cases} a_2 + a_5 = 17 \\ a_2 \cdot a_5 = 52 \end{cases} $
Согласно теореме Виета, $a_2$ и $a_5$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 17x + 52 = 0$. Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 289 - 208 = 81 = 9^2$. Корни равны: $x_{1,2} = \frac{17 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{17 \pm 9}{2}$.
$x_1 = \frac{17-9}{2} = 4$
$x_2 = \frac{17+9}{2} = 13$
Таким образом, у нас есть две возможные пары для $(a_2, a_5)$: $(4, 13)$ и $(13, 4)$. Поскольку по условию прогрессия является возрастающей, то $a_2 < a_5$. Следовательно, выбираем решение $a_2 = 4$ и $a_5 = 13$.
Теперь найдем разность прогрессии $d$. Мы знаем, что $a_5 = a_2 + (5-2)d = a_2 + 3d$. Подставим известные значения: $13 = 4 + 3d$. Отсюда $3d = 9$, и $d=3$. Так как $d=3>0$, условие о возрастании прогрессии выполняется.
Найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_2 = a_1 + d$. $4 = a_1 + 3$, следовательно $a_1 = 1$.
Наконец, найдем двадцатый член прогрессии $a_{20}$ по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_{20} = a_1 + (20-1)d = 1 + 19 \cdot 3 = 1 + 57 = 58$.
Ответ: $a_{20} = 58$.

б) Пусть $d$ - искомая разность арифметической прогрессии. По условию нам дано:
1) Сумма первого и пятого членов равна 4: $a_1 + a_5 = 4$.
2) Разность квадратов второго и первого членов равна 1: $a_2^2 - a_1^2 = 1$.
Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_2 = a_1 + d$
$a_5 = a_1 + 4d$
Подставим эти выражения в данные нам уравнения. Из первого уравнения:
$a_1 + (a_1 + 4d) = 4$
$2a_1 + 4d = 4$
$a_1 + 2d = 2$, откуда $a_1 = 2 - 2d$.
Рассмотрим второе уравнение. Используем формулу разности квадратов:
$a_2^2 - a_1^2 = (a_2 - a_1)(a_2 + a_1) = 1$.
По определению разности арифметической прогрессии, $a_2 - a_1 = d$. Подставим это в уравнение: $d(a_2+a_1) = 1$.
Теперь подставим выражение для $a_2 = a_1+d$:
$d((a_1+d) + a_1) = 1$
$d(2a_1 + d) = 1$.
Мы получили систему двух уравнений:
$ \begin{cases} a_1 = 2 - 2d \\ d(2a_1 + d) = 1 \end{cases} $
Подставим выражение для $a_1$ из первого уравнения во второе:
$d(2(2 - 2d) + d) = 1$
$d(4 - 4d + d) = 1$
$d(4 - 3d) = 1$
$4d - 3d^2 = 1$
$3d^2 - 4d + 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $d$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$. Корни уравнения: $d_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$.
$d_1 = \frac{4+2}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$d_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба значения являются решением задачи.
Ответ: $d=1$ или $d=\frac{1}{3}$.