Номер 106, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 106, страница 374.

Условие.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

106

а) Второй член арифметической прогрессии равен $a_2 = 5$, а пятый член равен $a_5 = 14$. Найдите разность прогрессии $d$.

б) Седьмой член арифметической прогрессии равен $a_7 = 20$, а третий член равен $a_3 = 8$. Найдите первый член $a_1$.

в) Четвёртый член арифметической прогрессии равен $a_4 = 11$, а шестой член равен $a_6 = 17$. Найдите второй член $a_2$.

г) Сумма первого и четвёртого членов арифметической прогрессии равна $a_1 + a_4 = 20$, а сумма второго и восьмого членов равна $a_2 + a_8 = 40$. Найдите разность прогрессии $d$.

д) В арифметической прогрессии первый член равен $a_1 = 2$, а разность прогрессии равна $d = 3$. Найдите сумму семи первых членов прогрессии $S_7$.

е) Найдите сумму 12 первых членов арифметической прогрессии $S_{12}$, если её второй член равен $a_2 = 8$, а десятый член равен $a_{10} = 40$.

ж) Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии $S_{10}$, если сумма её первого и седьмого члена равна $a_1 + a_7 = 16$, а разность между первым и седьмым членами равна $a_1 - a_7 = -12$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Обозначим члены арифметической прогрессии как $a_n$, где $n$ – номер члена, а разность прогрессии как $d$. По условию, второй член $a_2 = 5$, а пятый член $a_5 = 14$.

Связь между двумя любыми членами прогрессии $a_m$ и $a_k$ выражается формулой $a_m = a_k + (m-k)d$.

Применим эту формулу для $a_5$ и $a_2$:

$a_5 = a_2 + (5-2)d$

Подставим известные значения:

$14 = 5 + 3d$

Теперь решим уравнение относительно $d$:

$3d = 14 - 5$

$3d = 9$

$d = \frac{9}{3} = 3$

Ответ: 3

б)

По условию, седьмой член $a_7 = 20$, а третий член $a_3 = 8$. Нужно найти первый член $a_1$.

Сначала найдем разность прогрессии $d$, используя формулу $a_m = a_k + (m-k)d$:

$a_7 = a_3 + (7-3)d$

$20 = 8 + 4d$

$4d = 20 - 8 = 12$

$d = \frac{12}{4} = 3$

Теперь, зная разность $d$, найдем первый член $a_1$, используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$ для $n=3$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d$

$8 = a_1 + 2d$

Подставим найденное значение $d=3$:

$8 = a_1 + 2 \cdot 3$

$8 = a_1 + 6$

$a_1 = 8 - 6 = 2$

Ответ: 2

в)

Дано: четвёртый член $a_4 = 11$, шестой член $a_6 = 17$. Найти: второй член $a_2$.

Сначала определим разность прогрессии $d$:

$a_6 = a_4 + (6-4)d$

$17 = 11 + 2d$

$2d = 17 - 11 = 6$

$d = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем второй член $a_2$. Мы можем выразить $a_4$ через $a_2$:

$a_4 = a_2 + (4-2)d$

Подставим известные значения $a_4$ и $d$:

$11 = a_2 + 2 \cdot 3$

$11 = a_2 + 6$

$a_2 = 11 - 6 = 5$

Ответ: 5

г)

По условию даны два уравнения:

1) Сумма первого и четвёртого членов равна 20: $a_1 + a_4 = 20$.

2) Сумма второго и восьмого членов равна 40: $a_2 + a_8 = 40$.

Нужно найти разность прогрессии $d$. Выразим все члены через $a_1$ и $d$:

$a_2 = a_1 + d$, $a_4 = a_1 + 3d$, $a_8 = a_1 + 7d$.

Подставим эти выражения в исходные уравнения и получим систему:

$\begin{cases} a_1 + (a_1 + 3d) = 20 \\ (a_1 + d) + (a_1 + 7d) = 40 \end{cases} \implies \begin{cases} 2a_1 + 3d = 20 \\ 2a_1 + 8d = 40 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить $a_1$:

$(2a_1 + 8d) - (2a_1 + 3d) = 40 - 20$

$5d = 20$

$d = \frac{20}{5} = 4$

Ответ: 4

д)

Дано: первый член $a_1 = 2$, разность прогрессии $d = 3$. Нужно найти сумму семи первых членов $S_7$.

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим в формулу наши значения: $n=7$, $a_1=2$, $d=3$.

$S_7 = \frac{2 \cdot 2 + (7-1) \cdot 3}{2} \cdot 7 = \frac{4 + 6 \cdot 3}{2} \cdot 7 = \frac{4 + 18}{2} \cdot 7 = \frac{22}{2} \cdot 7 = 11 \cdot 7 = 77$

Ответ: 77

е)

Дано: второй член $a_2 = 8$, десятый член $a_{10} = 40$. Нужно найти сумму 12 первых членов $S_{12}$.

Для нахождения суммы нам нужны первый член $a_1$ и разность $d$.

1. Найдём разность $d$:

$a_{10} = a_2 + (10-2)d \implies 40 = 8 + 8d \implies 8d = 32 \implies d = 4$.

2. Найдём первый член $a_1$:

$a_2 = a_1 + d \implies 8 = a_1 + 4 \implies a_1 = 4$.

3. Найдём сумму $S_{12}$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$:

$S_{12} = \frac{2 \cdot 4 + (12-1) \cdot 4}{2} \cdot 12 = \frac{8 + 11 \cdot 4}{2} \cdot 12 = \frac{8 + 44}{2} \cdot 12 = \frac{52}{2} \cdot 12 = 26 \cdot 12 = 312$

Ответ: 312

ж)

По условию дано:

1) Сумма первого и седьмого членов: $a_1 + a_7 = 16$.

2) Разность между первым и седьмым членами: $a_1 - a_7 = -12$.

Нужно найти сумму десяти первых членов $S_{10}$.

1. Найдём $a_1$ и $a_7$ из системы уравнений:

$\begin{cases} a_1 + a_7 = 16 \\ a_1 - a_7 = -12 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим: $2a_1 = 4$, откуда $a_1 = 2$.

Подставив $a_1 = 2$ в первое уравнение, получим: $2 + a_7 = 16$, откуда $a_7 = 14$.

2. Найдём разность $d$:

$a_7 = a_1 + (7-1)d \implies 14 = 2 + 6d \implies 6d = 12 \implies d = 2$.

3. Найдём сумму $S_{10}$ по формуле $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$:

$S_{10} = \frac{2 \cdot 2 + (10-1) \cdot 2}{2} \cdot 10 = \frac{4 + 9 \cdot 2}{2} \cdot 10 = \frac{4 + 18}{2} \cdot 10 = \frac{22}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10 = 110$

Ответ: 110