Номер 112, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 112, страница 375.

112. Произведение первого и седьмого членов геометрической прогрессии равно $b_1 \cdot b_7 = 729$. Найдите четвёртый член прогрессии $b_4$.

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

По условию задачи, произведение первого и седьмого членов прогрессии равно 729.

$b_1 \cdot b_7 = 729$

Мы ищем четвёртый член прогрессии, $b_4$.

Выразим седьмой и четвёртый члены через первый член $b_1$ и знаменатель $q$:

$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Теперь подставим выражение для $b_7$ в исходное уравнение:

$b_1 \cdot (b_1 \cdot q^6) = 729$

$b_1^2 \cdot q^6 = 729$

Заметим, что левую часть уравнения можно представить в виде квадрата:

$b_1^2 \cdot q^6 = (b_1 \cdot q^3)^2$

Так как $b_4 = b_1 \cdot q^3$, мы получаем:

$(b_4)^2 = 729$

Чтобы найти $b_4$, извлечём квадратный корень из 729:

$b_4 = \pm \sqrt{729}$

$b_4 = \pm 27$

Также можно использовать свойство геометрической прогрессии:

Для любой геометрической прогрессии квадрат n-го члена равен произведению членов, равноудалённых от него:

$b_n^2 = b_{n-k} \cdot b_{n+k}$ (где $n > k \ge 1$)

В нашем случае мы ищем $b_4$. Члены $b_1$ и $b_7$ равноудалены от $b_4$, так как $4-3=1$ и $4+3=7$. То есть, для $n=4$ и $k=3$:

$b_4^2 = b_{4-3} \cdot b_{4+3} = b_1 \cdot b_7$

Поскольку по условию $b_1 \cdot b_7 = 729$, мы сразу получаем уравнение:

$b_4^2 = 729$

$b_4 = \pm 27$

Таким образом, четвёртый член прогрессии может быть равен как 27, так и -27.

Ответ: 27 или -27.