Номер 105, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы неравенств. Задания для повторения - номер 105, страница 374.

105 Найдите все пары целых чисел x и y, для которых верны неравенства:

а) $3y - x < 5$, $x + y > 26$, $3x - 2y < 46;

б) $3y - 5x > 16$, $3y - x < 44$, $3x - y > 1;

в) $3y - 2x < 45$, $x + y > 24$, $3x - y < 3;

г) $y - 3x < 1$, $2y - 3x > 19$, $4y - x < 78.

а)

Дана система неравенств:

$3y - x < 5$

$x + y > 26$

$3x - 2y < 46$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, мы можем переписать неравенства в нестрогом виде:

$3y - x \le 4$

$x + y \ge 27$

$3x - 2y \le 45$

Выразим переменную $x$ из каждого неравенства:

Из первого: $x \ge 3y - 4$

Из второго: $x \ge 27 - y$

Из третьего: $3x \le 45 + 2y \implies x \le \frac{45 + 2y}{3} \implies x \le 15 + \frac{2}{3}y$

Объединим эти условия в одно двойное неравенство для $x$:

$\max(3y - 4, 27 - y) \le x \le 15 + \frac{2}{3}y$

Чтобы существовало хотя бы одно целое решение для $x$, левая часть двойного неравенства должна быть не больше правой. Это дает нам два условия для $y$:

1) $3y - 4 \le 15 + \frac{2}{3}y \implies 9y - 12 \le 45 + 2y \implies 7y \le 57 \implies y \le \frac{57}{7} \approx 8.14$. Так как $y$ целое, $y \le 8$.

2) $27 - y \le 15 + \frac{2}{3}y \implies 12 \le y + \frac{2}{3}y \implies 12 \le \frac{5}{3}y \implies 36 \le 5y \implies y \ge \frac{36}{5} = 7.2$. Так как $y$ целое, $y \ge 8$.

Из условий $y \le 8$ и $y \ge 8$ следует, что единственное возможное значение $y = 8$.

Подставим $y=8$ в неравенство для $x$:

$\max(3 \cdot 8 - 4, 27 - 8) \le x \le 15 + \frac{2 \cdot 8}{3}$

$\max(24 - 4, 19) \le x \le 15 + \frac{16}{3}$

$\max(20, 19) \le x \le 15 + 5.33...$

$20 \le x \le 20.33...$

Поскольку $x$ — целое число, единственным возможным значением является $x = 20$.

Таким образом, мы нашли единственную пару целых чисел $(20, 8)$, которая может удовлетворять системе. Проверим ее, подставив в исходные неравенства:

$3(8) - 20 = 24 - 20 = 4 < 5$ (верно)

$20 + 8 = 28 > 26$ (верно)

$3(20) - 2(8) = 60 - 16 = 44 < 46$ (верно)

Ответ: $(20, 8)$.

б)

Дана система неравенств:

$3y - 5x > 16$

$3y - x < 44$

$3x - y > 1$

Для целых $x$ и $y$ система равносильна следующей:

$3y - 5x \ge 17$

$3y - x \le 43$

$3x - y \ge 2$

Выразим $3y$ из первого и второго неравенств:

$3y \ge 5x + 17$

$3y \le x + 43$

Из третьего неравенства выразим $y$ и умножим на 3: $y \le 3x - 2 \implies 3y \le 9x - 6$.

Теперь мы можем записать двойное неравенство для $3y$:

$5x + 17 \le 3y \le \min(x + 43, 9x - 6)$

Для существования решения необходимо, чтобы левая часть была не больше правой:

1) $5x + 17 \le x + 43 \implies 4x \le 26 \implies x \le 6.5$. Так как $x$ целое, $x \le 6$.

2) $5x + 17 \le 9x - 6 \implies 23 \le 4x \implies x \ge 5.75$. Так как $x$ целое, $x \ge 6$.

Из условий $x \le 6$ и $x \ge 6$ следует, что $x=6$.

Подставим $x=6$ в неравенство для $3y$:

$5(6) + 17 \le 3y \le \min(6 + 43, 9(6) - 6)$

$47 \le 3y \le \min(49, 48)$

$47 \le 3y \le 48$

Так как $y$ — целое число, $3y$ должно быть кратно 3. Единственное такое число в промежутке $[47, 48]$ — это 48. Следовательно, $3y=48$, откуда $y=16$.

Проверим пару $(6, 16)$:

$3(16) - 5(6) = 48 - 30 = 18 > 16$ (верно)

$3(16) - 6 = 48 - 6 = 42 < 44$ (верно)

$3(6) - 16 = 18 - 16 = 2 > 1$ (верно)

Ответ: $(6, 16)$.

в)

Дана система неравенств:

$3y - 2x < 45$

$x + y > 24$

$3x - y < 3$

Перепишем для целых чисел:

$3y - 2x \le 44$

$x + y \ge 25$

$3x - y \le 2$

Выразим $y$ из второго и третьего неравенств:

$y \ge 25 - x$

$y \ge 3x - 2$

Отсюда следует, что $y \ge \max(25 - x, 3x - 2)$.

Из первого неравенства: $3y \le 2x + 44 \implies y \le \frac{2x+44}{3}$.

Объединим условия для $y$:

$\max(25 - x, 3x - 2) \le y \le \frac{2x+44}{3}$

Для существования решения $y$ необходимо, чтобы:

1) $25 - x \le \frac{2x+44}{3} \implies 75 - 3x \le 2x + 44 \implies 31 \le 5x \implies x \ge 6.2$. Так как $x$ целое, $x \ge 7$.

2) $3x - 2 \le \frac{2x+44}{3} \implies 9x - 6 \le 2x + 44 \implies 7x \le 50 \implies x \le 7.14...$. Так как $x$ целое, $x \le 7$.

Из $x \ge 7$ и $x \le 7$ следует, что $x = 7$.

Подставим $x=7$ в неравенство для $y$:

$\max(25 - 7, 3(7) - 2) \le y \le \frac{2(7)+44}{3}$

$\max(18, 19) \le y \le \frac{58}{3}$

$19 \le y \le 19.33...$

Единственное целое значение для $y$ в этом промежутке — это $y=19$.

Проверим пару $(7, 19)$:

$3(19) - 2(7) = 57 - 14 = 43 < 45$ (верно)

$7 + 19 = 26 > 24$ (верно)

$3(7) - 19 = 21 - 19 = 2 < 3$ (верно)

Ответ: $(7, 19)$.

г)

Дана система неравенств:

$y - 3x < 1$

$2y - 3x > 19$

$4y - x < 78$

Поскольку $x, y$ целые, то $y-3x, 2y-3x, 4y-x$ также являются целыми. Система эквивалентна:

$y - 3x \le 0$

$2y - 3x \ge 20$

$4y - x \le 77$

Выразим $y$ из каждого неравенства:

$y \le 3x$

$y \ge \frac{3x+20}{2}$

$y \le \frac{x+77}{4}$

Объединим эти неравенства:

$\frac{3x+20}{2} \le y \le \min(3x, \frac{x+77}{4})$

Для существования решения $y$ необходимо, чтобы:

1) $\frac{3x+20}{2} \le 3x \implies 3x + 20 \le 6x \implies 20 \le 3x \implies x \ge 6.66...$. Так как $x$ целое, $x \ge 7$.

2) $\frac{3x+20}{2} \le \frac{x+77}{4} \implies 2(3x + 20) \le x + 77 \implies 6x + 40 \le x + 77 \implies 5x \le 37 \implies x \le 7.4$. Так как $x$ целое, $x \le 7$.

Единственное возможное целое значение для $x$ — это 7.

Подставим $x=7$ в неравенство для $y$:

$\frac{3(7)+20}{2} \le y \le \min(3(7), \frac{7+77}{4})$

$\frac{21+20}{2} \le y \le \min(21, \frac{84}{4})$

$\frac{41}{2} \le y \le \min(21, 21)$

$20.5 \le y \le 21$

Единственное целое значение для $y$ в этом промежутке — это $y=21$.

Проверим пару $(7, 21)$:

$21 - 3(7) = 21 - 21 = 0 < 1$ (верно)

$2(21) - 3(7) = 42 - 21 = 21 > 19$ (верно)

$4(21) - 7 = 84 - 7 = 77 < 78$ (верно)

Ответ: $(7, 21)$.