Номер 99, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 99, страница 373.

99 а) $ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+2} > \frac{1}{2x+3} $

б) $ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2x+1} > \frac{1}{4x+1} $

a)

Исходное неравенство: $ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+2} > \frac{1}{2x+3} $
1. Перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:
$ \frac{2}{x-1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{2x+3} > 0 $
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$
$2x+3 \neq 0 \implies x \neq -1.5$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; -1.5) \cup (-1.5; 1) \cup (1; \infty)$.
3. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+2)(2x+3)$:
$ \frac{2(x+2)(2x+3) + 1(x-1)(2x+3) - 1(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+2)(2x+3)} > 0 $
4. Упростим числитель, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$ 2(2x^2 + 3x + 4x + 6) + (2x^2 + 3x - 2x - 3) - (x^2 + 2x - x - 2) $
$ = 2(2x^2+7x+6) + (2x^2+x-3) - (x^2+x-2) $
$ = 4x^2+14x+12 + 2x^2+x-3 - x^2-x+2 $
$ = (4+2-1)x^2 + (14+1-1)x + (12-3+2) $
$ = 5x^2+14x+11 $
5. Неравенство принимает вид:
$ \frac{5x^2+14x+11}{(x-1)(x+2)(2x+3)} > 0 $
6. Найдем корни числителя $5x^2+14x+11=0$. Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 5 \cdot 11 = 196 - 220 = -24 $
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=5 > 0$, квадратный трехчлен $5x^2+14x+11$ всегда положителен при любых значениях $x$.
7. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$ (x-1)(x+2)(2x+3) > 0 $
8. Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни сомножителей: $x=1, x=-2, x=-1.5$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак произведения в каждом из полученных интервалов.
- При $x \in (1, \infty)$ (например, $x=2$): $(+)(+)(+) > 0$. Интервал удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-1.5, 1)$ (например, $x=0$): $(-)(+)(+) < 0$. Интервал не удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-2, -1.5)$ (например, $x=-1.7$): $(-)(+)(-) > 0$. Интервал удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-\infty, -2)$ (например, $x=-3$): $(-)(-)(-) < 0$. Интервал не удовлетворяет неравенству.
Объединяя интервалы, где выражение положительно, получаем решение, которое входит в ОДЗ.
Ответ: $x \in (-2; -1.5) \cup (1; \infty)$.

б)

Исходное неравенство: $ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2x+1} > \frac{1}{4x+1} $
1. Перенесем все члены в левую часть:
$ \frac{1}{x-1} + \frac{1}{2x+1} - \frac{1}{4x+1} > 0 $
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$2x+1 \neq 0 \implies x \neq -0.5$
$4x+1 \neq 0 \implies x \neq -0.25$
Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (-0.5; -0.25) \cup (-0.25; 1) \cup (1; \infty)$.
3. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(2x+1)(4x+1)$:
$ \frac{1(2x+1)(4x+1) + 1(x-1)(4x+1) - 1(x-1)(2x+1)}{(x-1)(2x+1)(4x+1)} > 0 $
4. Упростим числитель:
$ (8x^2 + 2x + 4x + 1) + (4x^2 + x - 4x - 1) - (2x^2 + x - 2x - 1) $
$ = (8x^2+6x+1) + (4x^2-3x-1) - (2x^2-x-1) $
$ = 8x^2+6x+1 + 4x^2-3x-1 - 2x^2+x+1 $
$ = (8+4-2)x^2 + (6-3+1)x + (1-1+1) $
$ = 10x^2+4x+1 $
5. Неравенство принимает вид:
$ \frac{10x^2+4x+1}{(x-1)(2x+1)(4x+1)} > 0 $
6. Найдем корни числителя $10x^2+4x+1=0$. Вычислим дискриминант:
$ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 16 - 40 = -24 $
Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a=10 > 0$, выражение $10x^2+4x+1$ всегда положительно при любых значениях $x$.
7. Так как числитель всегда положителен, знак всей дроби определяется знаком знаменателя:
$ (x-1)(2x+1)(4x+1) > 0 $
8. Решим это неравенство методом интервалов. Корни сомножителей: $x=1, x=-0.5, x=-0.25$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак произведения в каждом из полученных интервалов.
- При $x \in (1, \infty)$ (например, $x=2$): $(+)(+)(+) > 0$. Интервал удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-0.25, 1)$ (например, $x=0$): $(-)(+)(+) < 0$. Интервал не удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-0.5, -0.25)$ (например, $x=-0.3$): $(-)(+)(-) > 0$. Интервал удовлетворяет неравенству.
- При $x \in (-\infty, -0.5)$ (например, $x=-1$): $(-)(-)(-) < 0$. Интервал не удовлетворяет неравенству.
Объединяя интервалы, где выражение положительно, получаем решение, которое входит в ОДЗ.
Ответ: $x \in (-0.5; -0.25) \cup (1; \infty)$.