Номер 92, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 92, страница 373.

92 a) $\frac{2x^2 + x + 2}{x^2 - 1} < 0;$

б) $\frac{x - 2}{x^2 - 1} > \frac{2x}{x - 1};$

В) $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + x + 1} > 2;$

Г) $\frac{x^2 - 2x + 10}{x^2 - 5x + 4} < 1;$

Д) $\frac{(x - 3)(x^2 - 3x + 2)}{x^2 + 3x + 2} > 0;$

е) $\frac{(x - 2)(x^2 - 5x + 6)}{x^2 - 5x + 4} < 0.$

а)

Дано неравенство $\frac{2x^2 + x + 2}{x^2 - 1} < 0$.

Сначала проанализируем числитель $2x^2 + x + 2$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$.

Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент $a=2$ положительный, то выражение $2x^2 + x + 2$ всегда положительно при любом действительном значении $x$.

Таким образом, знак всей дроби определяется знаком знаменателя. Неравенство сводится к $x^2 - 1 < 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x + 1) < 0$.

Корнями уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется между корнями.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x - 2}{x^2 - 1} > \frac{2x}{x - 1}$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x^2 - 1 \neq 0$ и $x - 1 \neq 0$, что дает $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x - 2}{x^2 - 1} - \frac{2x}{x - 1} > 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$:

$\frac{x - 2}{(x - 1)(x + 1)} - \frac{2x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0$

$\frac{x - 2 - 2x(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} > 0$

$\frac{x - 2 - 2x^2 - 2x}{(x - 1)(x + 1)} > 0$

$\frac{-2x^2 - x - 2}{(x - 1)(x + 1)} > 0$

Умножим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{2x^2 + x + 2}{(x - 1)(x + 1)} < 0$

Как и в пункте а), числитель $2x^2 + x + 2$ всегда положителен. Значит, неравенство равносильно $(x - 1)(x + 1) < 0$.

Решением является интервал $x \in (-1, 1)$, что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

в)

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + x + 1} > 2$.

Проанализируем знаменатель $x^2 + x + 1$. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$ и $a=1 > 0$, знаменатель всегда положителен.

Перенесем 2 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + x + 1} - 2 > 0$

$\frac{x^2 + 5x + 6 - 2(x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} > 0$

$\frac{x^2 + 5x + 6 - 2x^2 - 2x - 2}{x^2 + x + 1} > 0$

$\frac{-x^2 + 3x + 4}{x^2 + x + 1} > 0$

Так как знаменатель всегда положителен, неравенство сводится к $-x^2 + 3x + 4 > 0$.

Умножим на -1 и изменим знак: $x^2 - 3x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Неравенство можно записать как $(x - 4)(x + 1) < 0$. Решением является интервал между корнями.

Ответ: $x \in (-1, 4)$.

г)

Решим неравенство $\frac{x^2 - 2x + 10}{x^2 - 5x + 4} < 1$.

ОДЗ: $x^2 - 5x + 4 \neq 0$. Корни знаменателя $x_1=1, x_2=4$. Значит, $x \neq 1$ и $x \neq 4$.

Перенесем 1 в левую часть:

$\frac{x^2 - 2x + 10}{x^2 - 5x + 4} - 1 < 0$

$\frac{x^2 - 2x + 10 - (x^2 - 5x + 4)}{x^2 - 5x + 4} < 0$

$\frac{x^2 - 2x + 10 - x^2 + 5x - 4}{x^2 - 5x + 4} < 0$

$\frac{3x + 6}{x^2 - 5x + 4} < 0$

Разложим на множители: $\frac{3(x + 2)}{(x - 1)(x - 4)} < 0$.

Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = -2$, $x = 1$, $x = 4$.

На числовой прямой отмечаем точки -2, 1, 4 и определяем знаки на интервалах: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 4)$, $(4, +\infty)$.

• При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{3(5+2)}{(5-1)(5-4)} = \frac{+}{+\cdot+} > 0$.
• При $x \in (1, 4)$ (например, $x=2$): $\frac{3(2+2)}{(2-1)(2-4)} = \frac{+}{+\cdot-} < 0$.
• При $x \in (-2, 1)$ (например, $x=0$): $\frac{3(0+2)}{(0-1)(0-4)} = \frac{+}{-\cdot-} > 0$.
• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{3(-3+2)}{(-3-1)(-3-4)} = \frac{-}{-\cdot-} < 0$.

Неравенство выполняется на интервалах, где выражение отрицательно.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, 4)$.

д)

Решим неравенство $\frac{(x-3)(x^2-3x+2)}{x^2+3x+2} > 0$.

Разложим на множители квадратные трехчлены:

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$

$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$

Подставим в неравенство:

$\frac{(x-3)(x-1)(x-2)}{(x+1)(x+2)} > 0$

Применим метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = 3, x = 1, x = 2, x = -1, x = -2$.

Расположим точки на числовой прямой: -2, -1, 1, 2, 3. Все корни имеют кратность 1, поэтому знак будет чередоваться.

При $x > 3$ (например, $x=4$), все множители положительны, значит, выражение больше нуля.

Двигаясь справа налево, знаки на интервалах будут: +, -, +, -, +, -.

Интервалы: $(3, +\infty): +$; $(2, 3): -$; $(1, 2): +$; $(-1, 1): -$; $(-2, -1): +$; $(-\infty, -2): -$.

Выбираем интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-2, -1) \cup (1, 2) \cup (3, \infty)$.

е)

Решим неравенство $\frac{(x-2)(x^2-5x+6)}{x^2-5x+4} < 0$.

Разложим на множители квадратные трехчлены:

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

$x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$

Подставим в неравенство:

$\frac{(x-2)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-4)} < 0$

$\frac{(x-2)^2(x-3)}{(x-1)(x-4)} < 0$

Используем метод интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x = 2$ (кратность 2), $x = 3$, $x = 1$, $x = 4$.

Расположим точки на числовой прямой: 1, 2, 3, 4.

Множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен. Он равен нулю при $x=2$ (не является решением, т.к. неравенство строгое) и положителен при $x \neq 2$.

Знак выражения определяется знаками остальных множителей. При переходе через точку $x=2$ знак выражения не меняется.

При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)^2(+)}{(+)(+)} > 0$.

Двигаясь справа налево, получаем знаки на интервалах:

• $(4, +\infty)$: +
• $(3, 4)$: - (знак меняется в точке 4)
• $(2, 3)$: + (знак меняется в точке 3)
• $(1, 2)$: + (знак не меняется в точке 2)
• $(-\infty, 1)$: - (знак меняется в точке 1)

Выбираем интервалы, где выражение строго меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, 4)$.