Номер 96, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 96, страница 373.

96 a) $\frac{1}{1+\frac{1}{x}} \leq 2$;

б) $\frac{1}{1-\frac{1}{x}} \leq 2$;

в) $\frac{x^2+1}{x} < \frac{1}{x}-1$.

а)

Исходное неравенство:

$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \le 2$

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$x \ne 0$ и $1 + \frac{1}{x} \ne 0$.

Решим второе условие: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x} \ne 0$, что означает $x \ne -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

2. Упростим левую часть неравенства:

$\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x}{x+1}$

3. Неравенство принимает вид:

$\frac{x}{x+1} \le 2$

4. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x}{x+1} - 2 \le 0$

$\frac{x - 2(x+1)}{x+1} \le 0$

$\frac{x - 2x - 2}{x+1} \le 0$

$\frac{-x - 2}{x+1} \le 0$

5. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{x+2}{x+1} \ge 0$

6. Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+2=0 \implies x=-2$ (точка включается).

Нуль знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$ (точка исключается).

Нанесем точки на числовую прямую и определим знаки выражения $\frac{x+2}{x+1}$ на интервалах. Нам нужны интервалы, где выражение не отрицательно ($\ge 0$).

Интервалы $(-\infty, -2]$ и $(-1, \infty)$ удовлетворяют этому условию.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, \infty)$.

7. Учтем ОДЗ ($x \ne 0$ и $x \ne -1$). Точка $x=-1$ уже исключена. Точка $x=0$ находится в интервале $(-1, \infty)$, поэтому ее нужно исключить, разбив интервал на два.

Итоговое решение: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, -2] \cup (-1, 0) \cup (0, \infty)$.

б)

Исходное неравенство:

$\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} \le 2$

1. Определим ОДЗ. Знаменатели не должны равняться нулю:

$x \ne 0$ и $1 - \frac{1}{x} \ne 0$.

Решим второе условие: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x} \ne 0$, что означает $x \ne 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Упростим левую часть неравенства:

$\frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x-1}{x}} = \frac{x}{x-1}$

3. Неравенство принимает вид:

$\frac{x}{x-1} \le 2$

4. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x}{x-1} - 2 \le 0$

$\frac{x - 2(x-1)}{x-1} \le 0$

$\frac{x - 2x + 2}{x-1} \le 0$

$\frac{-x + 2}{x-1} \le 0$

5. Умножим на -1 и изменим знак неравенства:

$\frac{x - 2}{x-1} \ge 0$

6. Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-2=0 \implies x=2$ (точка включается).

Нуль знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$ (точка исключается).

Определив знаки на интервалах, находим, что выражение $\frac{x-2}{x-1}$ не отрицательно при $x \in (-\infty, 1) \cup [2, \infty)$.

7. Учтем ОДЗ ($x \ne 0$ и $x \ne 1$). Точка $x=1$ уже исключена. Точка $x=0$ находится в интервале $(-\infty, 1)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup [2, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup [2, \infty)$.

в)

Исходное неравенство:

$\frac{x^2 + 1}{x} < \frac{1}{x} - 1$

1. Определим ОДЗ. Знаменатель не должен равняться нулю: $x \ne 0$.

2. Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x^2 + 1}{x} - \frac{1}{x} + 1 < 0$

3. Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 1 - 1 + x}{x} < 0$

$\frac{x^2 + x}{x} < 0$

4. Вынесем общий множитель в числителе:

$\frac{x(x+1)}{x} < 0$

5. Так как по ОДЗ $x \ne 0$, мы можем сократить дробь на $x$:

$x + 1 < 0$

6. Решим полученное линейное неравенство:

$x < -1$

7. Данное решение $x \in (-\infty, -1)$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x \ne 0$), так как промежуток не содержит точку 0.

Ответ: $(-\infty, -1)$.