Номер 94, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Решение неравенств - номер 94, страница 373.

Условие.

94 а) $\frac{4x^2 + 8x - 5}{x + 1} < 0;$

б) $\frac{1}{1 - x} > \frac{3}{x + 3};$

в) $\frac{3x}{x^2 + 3x} \geq 1;$

г) $\frac{x - 4}{4x^2 - 4x - 3} < 0;$

д) $\frac{2x^2 + x - 15}{x + 2} > 0;$

е) $x - 1 \geq \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Решим неравенство $\frac{4x^2 + 8x - 5}{x + 1} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя, решив квадратное уравнение $4x^2 + 8x - 5 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-8 - 12}{2 \cdot 4} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$
$x_2 = \frac{-8 + 12}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = 0.5$

2. Найдем нуль знаменателя: $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

3. Отметим на числовой оси точки $-2.5$, $-1$ и $0.5$. Так как неравенство строгое ($<$), все точки будут выколотыми (не включены в решение).

4. Определим знаки выражения $\frac{4x^2 + 8x - 5}{x + 1}$ на интервалах $(-\infty; -2.5)$, $(-2.5; -1)$, $(-1; 0.5)$ и $(0.5; +\infty)$.
- При $x > 0.5$ (например $x=1$): $\frac{4(1)^2+8(1)-5}{1+1} = \frac{7}{2} > 0$.
- При $-1 < x < 0.5$ (например $x=0$): $\frac{-5}{1} < 0$.
- При $-2.5 < x < -1$ (например $x=-2$): $\frac{4(-2)^2+8(-2)-5}{-2+1} = \frac{16-16-5}{-1} = 5 > 0$.
- При $x < -2.5$ (например $x=-3$): $\frac{4(-3)^2+8(-3)-5}{-3+1} = \frac{36-24-5}{-2} = \frac{7}{-2} < 0$.
Знаки на интервалах чередуются: (–), (+), (–), (+).

5. Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -2.5)$ и $(-1; 0.5)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2.5) \cup (-1; 0.5)$.

б)

Решим неравенство $\frac{1}{1 - x} > \frac{3}{x + 3}$.

1. Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{1}{1 - x} - \frac{3}{x + 3} > 0$
$\frac{1(x + 3) - 3(1 - x)}{(1 - x)(x + 3)} > 0$
$\frac{x + 3 - 3 + 3x}{(1 - x)(x + 3)} > 0$
$\frac{4x}{(1 - x)(x + 3)} > 0$

2. Для удобства умножим неравенство на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный. Это сделает коэффициент при $x$ в знаменателе положительным:
$\frac{4x}{-(x - 1)(x + 3)} > 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{4x}{(x - 1)(x + 3)} < 0$

3. Найдем нули числителя: $4x = 0 \Rightarrow x = 0$.
Найдем нули знаменателя: $(x - 1)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = 1, x = -3$.

4. Отметим на числовой оси выколотые точки $-3$, $0$, $1$ и определим знаки на интервалах.
- При $x > 1$ (например $x=2$): $\frac{4(2)}{(2-1)(2+3)} > 0$.
- При $0 < x < 1$ (например $x=0.5$): $\frac{4(0.5)}{(0.5-1)(0.5+3)} < 0$.
- При $-3 < x < 0$ (например $x=-1$): $\frac{4(-1)}{(-1-1)(-1+3)} > 0$.
- При $x < -3$ (например $x=-4$): $\frac{4(-4)}{(-4-1)(-4+3)} < 0$.
Знаки на интервалах: (–), (+), (–), (+).

5. Нам нужны интервалы, где выражение $\frac{4x}{(x - 1)(x + 3)}$ меньше нуля. Это $(-\infty; -3)$ и $(0; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (0; 1)$.

в)

Решим неравенство $\frac{3x}{x^2 + 3x} \ge 1$.

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не равен нулю.
$x^2 + 3x \ne 0 \Rightarrow x(x + 3) \ne 0 \Rightarrow x \ne 0$ и $x \ne -3$.

2. Учитывая ОДЗ ($x \ne 0$), можно сократить дробь:
$\frac{3x}{x(x + 3)} \ge 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{3}{x + 3} \ge 1$.

3. Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{3}{x + 3} - 1 \ge 0$
$\frac{3 - (x + 3)}{x + 3} \ge 0$
$\frac{-x}{x + 3} \ge 0$.

4. Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $\frac{x}{x + 3} \le 0$.

5. Нуль числителя: $x = 0$. Нуль знаменателя: $x = -3$.
Точка $x = -3$ выколотая. Точка $x=0$ также выколотая, так как $x \ne 0$ по ОДЗ.

6. Определим знаки выражения $\frac{x}{x + 3}$ на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 0)$, $(0; +\infty)$.
Знаки: (+), (–), (+).
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-3; 0)$.

Ответ: $x \in (-3; 0)$.

г)

Решим неравенство $\frac{x - 4}{4x^2 - 4x - 3} < 0$ методом интервалов.

1. Найдем нуль числителя: $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.

2. Найдем нули знаменателя, решив уравнение $4x^2 - 4x - 3 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{4 - 8}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

3. Отметим на числовой оси выколотые точки $-\frac{1}{2}$, $\frac{3}{2}$ и $4$.

4. Определим знаки на интервалах. Выражение можно записать как $\frac{x - 4}{4(x + 1/2)(x - 3/2)}$.
- При $x > 4$ (например $x=5$): $\frac{+}{+ \cdot + \cdot +} > 0$.
- При $3/2 < x < 4$ (например $x=2$): $\frac{-}{+ \cdot + \cdot +} < 0$.
- При $-1/2 < x < 3/2$ (например $x=0$): $\frac{-}{+ \cdot + \cdot -} > 0$.
- При $x < -1/2$ (например $x=-1$): $\frac{-}{+ \cdot - \cdot -} < 0$.
Знаки: (–), (+), (–), (+).

5. Выбираем интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty; -1/2)$ и $(3/2; 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (3/2; 4)$.

д)

Решим неравенство $\frac{2x^2 + x - 15}{x + 2} > 0$ методом интервалов.

1. Найдем нули числителя: $2x^2 + x - 15 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-1 - 11}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
$x_2 = \frac{-1 + 11}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$.

2. Найдем нуль знаменателя: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$.

3. Отметим на числовой оси выколотые точки $-3$, $-2$ и $2.5$.

4. Определим знаки на интервалах. Выражение можно записать как $\frac{2(x+3)(x-2.5)}{x+2}$.
- При $x > 2.5$ (например $x=3$): $\frac{+ \cdot +}{+} > 0$.
- При $-2 < x < 2.5$ (например $x=0$): $\frac{+ \cdot -}{+} < 0$.
- При $-3 < x < -2$ (например $x=-2.5$): $\frac{+ \cdot -}{-} > 0$.
- При $x < -3$ (например $x=-4$): $\frac{- \cdot -}{-} < 0$.
Знаки: (–), (+), (–), (+).

5. Выбираем интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-3; -2)$ и $(2.5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2.5; +\infty)$.

е)

Решим неравенство $x - 1 \ge \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1}$.

1. ОДЗ: $x - 1 \ne 0 \Rightarrow x \ne 1$.

2. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$x - 1 - \frac{x^2 - 5x - 1}{x - 1} \ge 0$
$\frac{(x - 1)^2 - (x^2 - 5x - 1)}{x - 1} \ge 0$
$\frac{(x^2 - 2x + 1) - x^2 + 5x + 1}{x - 1} \ge 0$
$\frac{3x + 2}{x - 1} \ge 0$

3. Найдем нуль числителя: $3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2/3$.
Найдем нуль знаменателя: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

4. Отметим точки на числовой оси. $x = -2/3$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а $x=1$ — выколотой (знаменатель и ОДЗ).

5. Определим знаки выражения $\frac{3x + 2}{x - 1}$ на интервалах.
- При $x > 1$ (например $x=2$): $\frac{+}{+} > 0$.
- При $-2/3 < x < 1$ (например $x=0$): $\frac{+}{-} < 0$.
- При $x < -2/3$ (например $x=-1$): $\frac{-}{-} > 0$.
Знаки: (+), (–), (+).

6. Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty; -2/3]$ и $(1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2/3] \cup (1; +\infty)$.