Номер 88, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 88, страница 372.

88 a) $\frac{x-3}{3x} \ge \frac{1}{2};$

б) $\frac{x-2}{2x} \le \frac{1}{3}.$

а)

Решим неравенство $\frac{x-3}{3x} \ge \frac{1}{2}$.

Сначала перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем:

$\frac{x-3}{3x} - \frac{1}{2} \ge 0$

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $6x$:

$\frac{2(x-3)}{6x} - \frac{3x}{6x} \ge 0$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2x - 6 - 3x}{6x} \ge 0$

$\frac{-x - 6}{6x} \ge 0$

Теперь решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

1. Найдем нуль числителя: $-x - 6 = 0 \implies -x = 6 \implies x = -6$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка будет входить в решение.

2. Найдем нуль знаменателя: $6x = 0 \implies x = 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому эта точка не будет входить в решение (будет "выколотой").

Нанесем точки $-6$ и $0$ на числовую ось. Они разбивают ее на три интервала: $(-\infty, -6]$, $(-6, 0)$ и $(0, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{-x - 6}{6x}$ в каждом из интервалов:

• В интервале $(-\infty, -6]$ (возьмем $x=-7$): $\frac{-(-7) - 6}{6(-7)} = \frac{7 - 6}{-42} = \frac{1}{-42} < 0$. Знак "минус".
• В интервале $(-6, 0)$ (возьмем $x=-1$): $\frac{-(-1) - 6}{6(-1)} = \frac{1 - 6}{-6} = \frac{-5}{-6} > 0$. Знак "плюс".
• В интервале $(0, \infty)$ (возьмем $x=1$): $\frac{-1 - 6}{6(1)} = \frac{-7}{6} < 0$. Знак "минус".

Поскольку мы ищем, где выражение больше или равно нулю ($\ge 0$), нас интересует интервал со знаком "плюс", включая корень числителя. Это интервал от $-6$ до $0$.

Ответ: $x \in [-6, 0)$.

б)

Решим неравенство $\frac{x-2}{2x} \le \frac{1}{3}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$\frac{x-2}{2x} - \frac{1}{3} \le 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $6x$:

$\frac{3(x-2)}{6x} - \frac{2x}{6x} \le 0$

Объединим дроби:

$\frac{3x - 6 - 2x}{6x} \le 0$

$\frac{x - 6}{6x} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов.

1. Найдем нуль числителя: $x - 6 = 0 \implies x = 6$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эта точка будет входить в решение.

2. Найдем нуль знаменателя: $6x = 0 \implies x = 0$. Эта точка не входит в область определения, поэтому она не будет входить в решение.

Нанесем точки $0$ и $6$ на числовую ось. Они разбивают ее на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 6]$ и $[6, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x - 6}{6x}$ в каждом из интервалов:

• В интервале $(-\infty, 0)$ (возьмем $x=-1$): $\frac{-1 - 6}{6(-1)} = \frac{-7}{-6} > 0$. Знак "плюс".
• В интервале $(0, 6]$ (возьмем $x=1$): $\frac{1 - 6}{6(1)} = \frac{-5}{6} < 0$. Знак "минус".
• В интервале $[6, \infty)$ (возьмем $x=7$): $\frac{7 - 6}{6(7)} = \frac{1}{42} > 0$. Знак "плюс".

Поскольку мы ищем, где выражение меньше или равно нулю ($\le 0$), нас интересует интервал со знаком "минус", включая корень числителя. Это интервал от $0$ до $6$.

Ответ: $x \in (0, 6]$.