Номер 91, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 91, страница 373.

91 a) $\frac{1}{x - 1996} \leq \frac{x}{x - 1996};$

б) $\frac{2x - 7}{x - 3} > \frac{9}{5 - x};$

в) $\frac{7}{(x - 2)(x - 3)} + \frac{9}{x - 3} + 1 \leq 0.$

а) $\frac{1}{x-1996} \le \frac{x}{x-1996}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 1996 \neq 0 \implies x \neq 1996$.

Перенесем все члены неравенства в одну сторону: $\frac{x}{x-1996} - \frac{1}{x-1996} \ge 0$

Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{x - 1}{x - 1996} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя: $x - 1 = 0 \implies x = 1$ $x - 1996 = 0 \implies x = 1996$

Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=1$ будет закрашенной (включена в решение), так как неравенство нестрогое. Точка $x=1996$ будет выколотой (не включена в решение), так как это корень знаменателя (из ОДЗ).

Определим знаки выражения $\frac{x-1}{x-1996}$ на полученных интервалах:

• При $x > 1996$ (например, $x=2000$): $\frac{2000-1}{2000-1996} = \frac{1999}{4} > 0$. Знак (+).
• При $1 < x < 1996$ (например, $x=2$): $\frac{2-1}{2-1996} = \frac{1}{-1994} < 0$. Знак (-).
• При $x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{0-1}{0-1996} = \frac{-1}{-1996} > 0$. Знак (+).

Нам нужны интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это $(-\infty, 1]$ и $(1996, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup (1996, +\infty)$.

б) $\frac{2x-7}{x-3} > \frac{9}{5-x}$

ОДЗ: $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$ и $5-x \neq 0 \implies x \neq 5$.

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем вторую дробь: $\frac{2x-7}{x-3} - \frac{9}{5-x} > 0$ $\frac{2x-7}{x-3} + \frac{9}{x-5} > 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-3)(x-5)$: $\frac{(2x-7)(x-5) + 9(x-3)}{(x-3)(x-5)} > 0$

Раскроем скобки в числителе и упростим: $\frac{2x^2 - 10x - 7x + 35 + 9x - 27}{(x-3)(x-5)} > 0$ $\frac{2x^2 - 8x + 8}{(x-3)(x-5)} > 0$

Вынесем общий множитель в числителе и свернем по формуле квадрата разности: $\frac{2(x^2 - 4x + 4)}{(x-3)(x-5)} > 0$ $\frac{2(x-2)^2}{(x-3)(x-5)} > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x-2 = 0 \implies x = 2$ (корень кратности 2) $x-3 = 0 \implies x = 3$ $x-5 = 0 \implies x = 5$

Все точки на числовой оси будут выколотыми, так как неравенство строгое, а $x=3$ и $x=5$ к тому же из ОДЗ. Так как множитель $(x-2)^2$ всегда неотрицателен (и равен нулю при $x=2$), он не влияет на знак дроби при $x \neq 2$. Поэтому знак выражения $\frac{2(x-2)^2}{(x-3)(x-5)}$ совпадает со знаком выражения $\frac{1}{(x-3)(x-5)}$ при $x \neq 2$.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 5$: $\frac{+}{(+)(+)} = +$. Интервал подходит.
• При $3 < x < 5$: $\frac{+}{(+)(-)} = -$. Интервал не подходит.
• При $2 < x < 3$: $\frac{+}{(-)(-)} = +$. Интервал подходит.
• При $x < 2$: $\frac{+}{(-)(-)} = +$. Интервал подходит.

Объединяем полученные интервалы. Точка $x=2$ исключается, так как при $x=2$ левая часть неравенства равна нулю, а нам нужно строго больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, 3) \cup (5, +\infty)$.

в) $\frac{7}{(x-2)(x-3)} + \frac{9}{x-3} + 1 \le 0$

ОДЗ: $(x-2)(x-3) \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq 3$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x-2)(x-3)$: $\frac{7 + 9(x-2) + 1 \cdot (x-2)(x-3)}{(x-2)(x-3)} \le 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $\frac{7 + 9x - 18 + x^2 - 3x - 2x + 6}{(x-2)(x-3)} \le 0$ $\frac{x^2 + 4x - 5}{(x-2)(x-3)} \le 0$

Разложим числитель на множители. Для этого решим уравнение $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = -5$. Тогда $x^2 + 4x - 5 = (x-1)(x+5)$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x+5)(x-1)}{(x-2)(x-3)} \le 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = -5, x = 1$. Нули знаменателя: $x = 2, x = 3$. На числовой оси точки $-5$ и $1$ будут закрашенными, а точки $2$ и $3$ — выколотыми.

Определим знаки на интервалах:

• При $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} = +$.
• При $2 < x < 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)(-)} = -$. Интервал подходит.
• При $1 < x < 2$: $\frac{(+)(+)}{(-)(-)} = +$.
• При $-5 < x < 1$: $\frac{(+)(-)}{(-)(-)} = -$. Интервал подходит.
• При $x < -5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} = +$.

Объединяем интервалы, где выражение отрицательно, и включаем нули числителя.

Ответ: $x \in [-5, 1] \cup (2, 3)$.