Номер 89, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 89, страница 372.

89 a) $\frac{2-3x}{x+2} \le 5;$

б) $\frac{3-4x}{x-1} \ge 2.$

a) Решим неравенство $\frac{2-3x}{x+2} \le 5$.

Для решения перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю. Знаменатель $x+2$ не должен быть равен нулю, то есть $x \ne -2$.

$\frac{2-3x}{x+2} - 5 \le 0$

$\frac{2-3x - 5(x+2)}{x+2} \le 0$

$\frac{2-3x - 5x - 10}{x+2} \le 0$

$\frac{-8x - 8}{x+2} \le 0$

Вынесем общий множитель $-8$ в числителе:

$\frac{-8(x+1)}{x+2} \le 0$

Разделим обе части неравенства на $-8$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$\frac{x+1}{x+2} \ge 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.

Нуль числителя: $x+1=0 \implies x=-1$. Так как неравенство нестрогое, эта точка является решением.

Нуль знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$. Эта точка не является решением, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Отметим точки $-2$ (выколотая) и $-1$ (закрашенная) на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, -2)$, $(-2, -1]$ и $[-1, \infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{x+1}{x+2}$ на каждом интервале.

- В интервале $(-\infty, -2)$ (возьмем $x=-3$): $\frac{-3+1}{-3+2} = \frac{-2}{-1} = 2 > 0$. Знак «+».

- В интервале $(-2, -1]$ (возьмем $x=-1.5$): $\frac{-1.5+1}{-1.5+2} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0$. Знак «−».

- В интервале $[-1, \infty)$ (возьмем $x=0$): $\frac{0+1}{0+2} = \frac{1}{2} > 0$. Знак «+».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение $\frac{x+1}{x+2}$ больше или равно нулю. Это соответствует интервалам со знаком «+» и точке, где числитель равен нулю.

Следовательно, решением является объединение интервалов $(-\infty, -2)$ и $[-1, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup [-1, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{3-4x}{x-1} \ge 2$.

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к общему знаменателю. Область допустимых значений: $x-1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$.

$\frac{3-4x}{x-1} - 2 \ge 0$

$\frac{3-4x - 2(x-1)}{x-1} \ge 0$

$\frac{3-4x - 2x + 2}{x-1} \ge 0$

$\frac{5-6x}{x-1} \ge 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $5-6x=0 \implies 6x=5 \implies x=\frac{5}{6}$. Точка включается в решение, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$. Точка не включается в решение.

Отметим точки $\frac{5}{6}$ (закрашенная) и $1$ (выколотая) на числовой оси. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty, \frac{5}{6}]$, $[\frac{5}{6}, 1)$ и $(1, \infty)$.

Определим знаки выражения $\frac{5-6x}{x-1}$ на каждом интервале.

- В интервале $(-\infty, \frac{5}{6}]$ (возьмем $x=0$): $\frac{5-0}{0-1} = -5 < 0$. Знак «−».

- В интервале $[\frac{5}{6}, 1)$ (возьмем $x=0.9$): $\frac{5-6(0.9)}{0.9-1} = \frac{5-5.4}{-0.1} = \frac{-0.4}{-0.1} = 4 > 0$. Знак «+».

- В интервале $(1, \infty)$ (возьмем $x=2$): $\frac{5-6(2)}{2-1} = \frac{5-12}{1} = -7 < 0$. Знак «−».

Мы ищем значения $x$, при которых выражение $\frac{5-6x}{x-1}$ больше или равно нулю. Это соответствует интервалу со знаком «+» и точке, где числитель равен нулю.

Следовательно, решением является интервал $[\frac{5}{6}, 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{5}{6}, 1)$.