Номер 85, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Решение неравенств - номер 85, страница 372.

Условие.

85 а) $||x^2 - 8x + 2|-x^2| \geq 2x + 2;$

б) $||x^2 + 3x - 8|-x^2| \geq 8 - x;$

в) $||x^2 - 9x + 6|-x^2| \geq 6 - x;$

г) $||x^2 + 5x - 18|-x^2| \geq 18 - x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Исходное неравенство: $||x^2 - 8x + 2| - x^2| \ge 2x + 2$.
Это неравенство вида $|A| \ge B$, где $A = |x^2 - 8x + 2| - x^2$ и $B = 2x + 2$. Оно равносильно совокупности двух неравенств:
1) $|x^2 - 8x + 2| - x^2 \ge 2x + 2$
2) $|x^2 - 8x + 2| - x^2 \le -(2x + 2)$

Рассмотрим первое неравенство: $|x^2 - 8x + 2| \ge x^2 + 2x + 2$.Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 2$ имеет отрицательный дискриминант ($D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4 < 0$) и положительный старший коэффициент, следовательно, $x^2 + 2x + 2 > 0$ для всех $x$.Поэтому неравенство равносильно совокупности:
$x^2 - 8x + 2 \ge x^2 + 2x + 2$ или $x^2 - 8x + 2 \le -(x^2 + 2x + 2)$.
Решаем первое: $-8x + 2 \ge 2x + 2 \implies -10x \ge 0 \implies x \le 0$.
Решаем второе: $x^2 - 8x + 2 \le -x^2 - 2x - 2 \implies 2x^2 - 6x + 4 \le 0 \implies x^2 - 3x + 2 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ это $x_1=1, x_2=2$. Следовательно, $1 \le x \le 2$.
Решение первого случая: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, 2]$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x^2 - 8x + 2| \le x^2 - 2x - 2$.Это неравенство может иметь решение только если правая часть неотрицательна: $x^2 - 2x - 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$ это $x = 1 \pm \sqrt{3}$. Значит, $x \in (-\infty, 1-\sqrt{3}] \cup [1+\sqrt{3}, \infty)$.При этом условии неравенство равносильно системе:
$-(x^2 - 2x - 2) \le x^2 - 8x + 2$ и $x^2 - 8x + 2 \le x^2 - 2x - 2$.
Решаем первое: $-x^2 + 2x + 2 \le x^2 - 8x + 2 \implies 0 \le 2x^2 - 10x \implies 0 \le x(x-5) \implies x \in (-\infty, 0] \cup [5, \infty)$.
Решаем второе: $-8x + 2 \le -2x - 2 \implies 4 \le 6x \implies x \ge 2/3$.
Пересечение решений системы: $(-\infty, 0] \cup [5, \infty)$ и $[2/3, \infty)$ дает $[5, \infty)$.
Теперь учтем условие $x \in (-\infty, 1-\sqrt{3}] \cup [1+\sqrt{3}, \infty)$. Поскольку $1+\sqrt{3} \approx 2.73$, интервал $[5, \infty)$ полностью удовлетворяет этому условию.
Решение второго случая: $x \in [5, \infty)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, 2] \cup [5, \infty)$.

б) Исходное неравенство: $||x^2 + 3x - 8| - x^2| \ge 8 - x$.
Это неравенство равносильно совокупности:
1) $|x^2 + 3x - 8| - x^2 \ge 8 - x$
2) $|x^2 + 3x - 8| - x^2 \le -(8 - x)$

Рассмотрим первое неравенство: $|x^2 + 3x - 8| \ge x^2 - x + 8$.Квадратный трехчлен $x^2 - x + 8$ имеет $D < 0$ и всегда положителен. Неравенство равносильно совокупности:
$x^2 + 3x - 8 \ge x^2 - x + 8$ или $x^2 + 3x - 8 \le -(x^2 - x + 8)$.
Решаем первое: $4x \ge 16 \implies x \ge 4$.
Решаем второе: $x^2 + 3x - 8 \le -x^2 + x - 8 \implies 2x^2 + 2x \le 0 \implies 2x(x+1) \le 0 \implies -1 \le x \le 0$.
Решение первого случая: $x \in [-1, 0] \cup [4, \infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x^2 + 3x - 8| \le x^2 + x - 8$.Условие $x^2 + x - 8 \ge 0$. Корни $x = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$. Значит, $x \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{33}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{33}}{2}, \infty)$.При этом условии решаем систему:
$-(x^2 + x - 8) \le x^2 + 3x - 8$ и $x^2 + 3x - 8 \le x^2 + x - 8$.
Решаем первое: $0 \le 2x^2 + 4x - 16 \implies x^2+2x-8 \ge 0 \implies (x+4)(x-2) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup [2, \infty)$.
Решаем второе: $2x \le 0 \implies x \le 0$.
Пересечение решений системы дает $x \in (-\infty, -4]$.
Учтем условие: $\frac{-1-\sqrt{33}}{2} \approx -3.37$. Так как $-4 < \frac{-1-\sqrt{33}}{2}$, интервал $(-\infty, -4]$ удовлетворяет условию.
Решение второго случая: $x \in (-\infty, -4]$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-1, 0] \cup [4, \infty)$.

в) Исходное неравенство: $||x^2 - 9x + 6| - x^2| \ge 6 - x$.
Это неравенство равносильно совокупности:
1) $|x^2 - 9x + 6| - x^2 \ge 6 - x$
2) $|x^2 - 9x + 6| - x^2 \le -(6 - x)$

Рассмотрим первое неравенство: $|x^2 - 9x + 6| \ge x^2 - x + 6$.Квадратный трехчлен $x^2 - x + 6$ имеет $D < 0$ и всегда положителен. Неравенство равносильно совокупности:
$x^2 - 9x + 6 \ge x^2 - x + 6$ или $x^2 - 9x + 6 \le -(x^2 - x + 6)$.
Решаем первое: $-8x \ge 0 \implies x \le 0$.
Решаем второе: $2x^2 - 10x + 12 \le 0 \implies x^2 - 5x + 6 \le 0 \implies (x-2)(x-3) \le 0 \implies 2 \le x \le 3$.
Решение первого случая: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3]$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x^2 - 9x + 6| \le x^2 + x - 6$.Условие $x^2 + x - 6 \ge 0 \implies (x+3)(x-2) \ge 0$. Значит, $x \in (-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.При этом условии решаем систему:
$-(x^2 + x - 6) \le x^2 - 9x + 6$ и $x^2 - 9x + 6 \le x^2 + x - 6$.
Решаем первое: $0 \le 2x^2 - 8x \implies 0 \le 2x(x-4) \implies x \in (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$.
Решаем второе: $12 \le 10x \implies x \ge 1.2$.
Пересечение решений системы дает $x \in [4, \infty)$.
Учтем условие: интервал $[4, \infty)$ полностью содержится в $(-\infty, -3] \cup [2, \infty)$.
Решение второго случая: $x \in [4, \infty)$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3] \cup [4, \infty)$.

г) Исходное неравенство: $||x^2 + 5x - 18| - x^2| \ge 18 - x$.
Это неравенство равносильно совокупности:
1) $|x^2 + 5x - 18| - x^2 \ge 18 - x$
2) $|x^2 + 5x - 18| - x^2 \le -(18 - x)$

Рассмотрим первое неравенство: $|x^2 + 5x - 18| \ge x^2 - x + 18$.Квадратный трехчлен $x^2 - x + 18$ имеет $D < 0$ и всегда положителен. Неравенство равносильно совокупности:
$x^2 + 5x - 18 \ge x^2 - x + 18$ или $x^2 + 5x - 18 \le -(x^2 - x + 18)$.
Решаем первое: $6x \ge 36 \implies x \ge 6$.
Решаем второе: $2x^2 + 4x \le 0 \implies 2x(x+2) \le 0 \implies -2 \le x \le 0$.
Решение первого случая: $x \in [-2, 0] \cup [6, \infty)$.

Рассмотрим второе неравенство: $|x^2 + 5x - 18| \le x^2 + x - 18$.Условие $x^2 + x - 18 \ge 0$. Корни $x = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{2}$. Значит, $x \in (-\infty, \frac{-1-\sqrt{73}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{73}}{2}, \infty)$.При этом условии решаем систему:
$-(x^2 + x - 18) \le x^2 + 5x - 18$ и $x^2 + 5x - 18 \le x^2 + x - 18$.
Решаем первое: $0 \le 2x^2 + 6x - 36 \implies x^2+3x-18 \ge 0 \implies (x+6)(x-3) \ge 0 \implies x \in (-\infty, -6] \cup [3, \infty)$.
Решаем второе: $4x \le 0 \implies x \le 0$.
Пересечение решений системы дает $x \in (-\infty, -6]$.
Учтем условие: $\frac{-1-\sqrt{73}}{2} \approx -4.77$. Так как $-6 < \frac{-1-\sqrt{73}}{2}$, интервал $(-\infty, -6]$ удовлетворяет условию.
Решение второго случая: $x \in (-\infty, -6]$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-2, 0] \cup [6, \infty)$.