Номер 79, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 79, страница 372.

79 a) $\frac{6x - 5}{2} - \frac{2 - 5x}{5} > \frac{3}{2}$

б) $\frac{3x + 4}{4} - \frac{5 - 2x}{6} < \frac{5}{4}$

a)

Дано неравенство:

$\frac{6x - 5}{2} - \frac{2 - 5x}{5} > \frac{3}{2}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, который для чисел 2 и 5 равен 10. Так как 10 > 0, знак неравенства не изменится.

$10 \cdot \left(\frac{6x - 5}{2} - \frac{2 - 5x}{5}\right) > 10 \cdot \frac{3}{2}$

$\frac{10 \cdot (6x - 5)}{2} - \frac{10 \cdot (2 - 5x)}{5} > \frac{10 \cdot 3}{2}$

$5(6x - 5) - 2(2 - 5x) > 5 \cdot 3$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$30x - 25 - 4 + 10x > 15$

Приведем подобные слагаемые:

$(30x + 10x) + (-25 - 4) > 15$

$40x - 29 > 15$

Перенесем число -29 в правую часть, изменив его знак на противоположный:

$40x > 15 + 29$

$40x > 44$

Разделим обе части неравенства на 40:

$x > \frac{44}{40}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 4:

$x > \frac{11}{10}$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (\frac{11}{10}; +\infty)$

б)

Дано неравенство:

$\frac{3x + 4}{4} - \frac{5 - 2x}{6} < \frac{5}{4}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12. Умножим обе части неравенства на 12. Так как 12 > 0, знак неравенства сохранится.

$12 \cdot \left(\frac{3x + 4}{4} - \frac{5 - 2x}{6}\right) < 12 \cdot \frac{5}{4}$

$\frac{12 \cdot (3x + 4)}{4} - \frac{12 \cdot (5 - 2x)}{6} < \frac{12 \cdot 5}{4}$

$3(3x + 4) - 2(5 - 2x) < 3 \cdot 5$

Раскроем скобки:

$9x + 12 - 10 + 4x < 15$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(9x + 4x) + (12 - 10) < 15$

$13x + 2 < 15$

Перенесем число 2 в правую часть с противоположным знаком:

$13x < 15 - 2$

$13x < 13$

Разделим обе части неравенства на 13:

$x < \frac{13}{13}$

$x < 1$

Запишем решение в виде интервала.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$