Номер 76, страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 76, страница 371.

76 a) $\begin{cases} \frac{x}{a-b} - \frac{y}{a+b} = 2ab \\ y - x = 2b^3; \end{cases}$

где $a, b, c, d$ — данные числа и

б) $\begin{cases} (c+d)x + (c-d)y = 2c^3 \\ \frac{x+cd}{y-cd} = 1, \end{cases}$

$|a| \ne |b|, cd \ne 0.$

a)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{x}{a-b} - \frac{y}{a+b} = 2ab \\y - x = 2b^3\end{cases}$$

Условие $|a| \neq |b|$ гарантирует, что знаменатели $a-b$ и $a+b$ не равны нулю.

1. Преобразуем первое уравнение системы, приведя левую часть к общему знаменателю $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$$ \frac{x(a+b) - y(a-b)}{(a-b)(a+b)} = 2ab $$

$$ x(a+b) - y(a-b) = 2ab(a^2 - b^2) $$

2. Из второго уравнения системы выразим $y$ через $x$:

$$ y = x + 2b^3 $$

3. Подставим полученное выражение для $y$ в преобразованное первое уравнение:

$$ x(a+b) - (x + 2b^3)(a-b) = 2ab(a^2 - b^2) $$

4. Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$$ ax + bx - (ax - bx + 2ab^3 - 2b^4) = 2ab(a^2 - b^2) $$

$$ ax + bx - ax + bx - 2ab^3 + 2b^4 = 2ab(a^2 - b^2) $$

$$ 2bx = 2ab(a^2 - b^2) + 2ab^3 - 2b^4 $$

Предполагая, что $b \neq 0$, разделим обе части на $2b$:

$$ x = a(a^2 - b^2) + ab^2 - b^3 $$

$$ x = a^3 - ab^2 + ab^2 - b^3 $$

$$ x = a^3 - b^3 $$

5. Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = x + 2b^3$:

$$ y = (a^3 - b^3) + 2b^3 $$

$$ y = a^3 + b^3 $$

Таким образом, решение системы найдено.

Ответ: $x = a^3 - b^3, y = a^3 + b^3$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}(c+d)x + (c-d)y = 2c^3 \\\frac{x+cd}{y-cd} = 1\end{cases}$$

Условие $cd \neq 0$ означает, что $c \neq 0$ и $d \neq 0$. Также из второго уравнения следует, что $y-cd \neq 0$.

1. Преобразуем второе уравнение системы:

$$ x+cd = y-cd $$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$$ y = x + 2cd $$

2. Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$$ (c+d)x + (c-d)(x + 2cd) = 2c^3 $$

3. Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$$ (c+d)x + (c-d)x + (c-d)(2cd) = 2c^3 $$

Сгруппируем члены с $x$:

$$ (c+d+c-d)x = 2c^3 - 2cd(c-d) $$

$$ 2cx = 2c^3 - 2c^2d + 2cd^2 $$

Поскольку по условию $c \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $2c$:

$$ x = c^2 - cd + d^2 $$

4. Теперь найдем $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = x + 2cd$:

$$ y = (c^2 - cd + d^2) + 2cd $$

$$ y = c^2 + cd + d^2 $$

Решение найдено. Заметим, что $y-cd = (c^2+cd+d^2) - cd = c^2+d^2$. Так как $c, d$ - вещественные числа и $cd \neq 0$, то $c^2+d^2>0$, что удовлетворяет условию $y-cd \neq 0$.

Ответ: $x = c^2 - cd + d^2, y = c^2 + cd + d^2$.