Номер 69, страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 69, страница 371.

Решите систему уравнений (69—76):

69 а) $\begin{cases} \frac{2}{y^2} = \frac{1}{2} \\ \frac{y-2}{x} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{3}{x^2} = \frac{1}{3} \\ \frac{x+3}{y} = 1; \end{cases}$

В) $\begin{cases} \frac{y}{x+1} = 1 \\ 1-x^2 = y; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} \frac{y}{1-x} = 1 \\ y+1 = x^2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{2}{y^2} = \frac{1}{2} \\ \frac{y-2}{x} = 1 \end{cases}$

Сначала решим первое уравнение относительно y. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $y \neq 0$.

$\frac{2}{y^2} = \frac{1}{2}$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$y^2 = 2 \cdot 2 = 4$

Отсюда находим два возможных значения для y:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -2$. Оба значения удовлетворяют условию $y \neq 0$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $\frac{y-2}{x} = 1$. ОДЗ для этого уравнения: $x \neq 0$.

Выразим x из второго уравнения: $x = y-2$.

Подставим найденные значения y:

1. Если $y = 2$, то $x = 2 - 2 = 0$. Это значение не входит в ОДЗ, так как $x \neq 0$. Следовательно, пара $(0, 2)$ не является решением.

2. Если $y = -2$, то $x = -2 - 2 = -4$. Это значение удовлетворяет ОДЗ.

Проверим пару $(-4, -2)$ в исходной системе:

Первое уравнение: $\frac{2}{(-2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Верно.

Второе уравнение: $\frac{-2 - 2}{-4} = \frac{-4}{-4} = 1$. Верно.

Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: $(-4, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{3}{x^2} = \frac{1}{3} \\ \frac{x+3}{y} = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно x. ОДЗ: $x \neq 0$.

$\frac{3}{x^2} = \frac{1}{3}$

$x^2 = 3 \cdot 3 = 9$

Отсюда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Из второго уравнения $\frac{x+3}{y} = 1$ (ОДЗ: $y \neq 0$) выразим y: $y = x+3$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $x = 3$, то $y = 3 + 3 = 6$. Пара $(3, 6)$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0$).

2. Если $x = -3$, то $y = -3 + 3 = 0$. Это значение не входит в ОДЗ ($y \neq 0$), поэтому пара $(-3, 0)$ не является решением.

Проверим пару $(3, 6)$:

Первое уравнение: $\frac{3}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Верно.

Второе уравнение: $\frac{3+3}{6} = \frac{6}{6} = 1$. Верно.

Таким образом, система имеет одно решение.

Ответ: $(3, 6)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{x+1} = 1 \\ 1 - x^2 = y \end{cases}$

ОДЗ системы определяется первым уравнением: $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Из первого уравнения выразим y:

$y = x+1$

Подставим это выражение для y во второе уравнение:

$1 - x^2 = x+1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + x + 1 - 1 = 0$

$x^2 + x = 0$

Вынесем x за скобки:

$x(x+1) = 0$

Получаем два возможных значения для x: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Согласно ОДЗ, $x \neq -1$, поэтому корень $x_2 = -1$ является посторонним.

Остается единственный корень $x = 0$.

Найдем соответствующее значение y, подставив $x=0$ в выражение $y = x+1$:

$y = 0 + 1 = 1$

Решением является пара $(0, 1)$. Проверим его:

Первое уравнение: $\frac{1}{0+1} = 1$. Верно.

Второе уравнение: $1 - 0^2 = 1$, что равно $y=1$. Верно.

Ответ: $(0, 1)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{y}{1-x} = 1 \\ y+1 = x^2 \end{cases}$

ОДЗ системы определяется первым уравнением: $1-x \neq 0$, то есть $x \neq 1$.

Из первого уравнения выразим y:

$y = 1-x$

Подставим это выражение для y во второе уравнение:

$(1-x) + 1 = x^2$

$2 - x = x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: их сумма равна -1, а произведение равно -2. Это числа -2 и 1. Или можно разложить на множители:

$(x+2)(x-1) = 0$

Отсюда получаем два значения для x: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Проверим корни с учетом ОДЗ ($x \neq 1$). Корень $x_2 = 1$ не удовлетворяет ОДЗ и является посторонним.

Единственный подходящий корень $x = -2$.

Найдем соответствующее значение y, подставив $x=-2$ в выражение $y=1-x$:

$y = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3$

Решением является пара $(-2, 3)$. Проверим его:

Первое уравнение: $\frac{3}{1-(-2)} = \frac{3}{3} = 1$. Верно.

Второе уравнение: $y+1 = 3+1 = 4$; $x^2 = (-2)^2 = 4$. Равенство $4=4$ верно.

Ответ: $(-2, 3)$.