Номер 68, страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 68, страница 371.

68 Определите, при каких значениях $k$ система уравнений:

a) $\begin{cases} (k+2)x + 6y = 30 - 5k \\ 6x + (k+7)y = 30 \end{cases}$

б) $\begin{cases} kx + 2y = k+2 \\ (2k+1)x + (k+1)y = 2k+1 \end{cases}$

имеет бесконечное множество решений; не имеет решений.

Для анализа системы линейных уравнений вида $A_1x + B_1y = C_1$ и $A_2x + B_2y = C_2$ на количество решений используются следующие условия, основанные на пропорциональности коэффициентов:
- Бесконечное множество решений: все коэффициенты пропорциональны, то есть $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $. Геометрически это означает, что прямые совпадают.
- Нет решений: коэффициенты при переменных пропорциональны, но это отношение не равно отношению свободных членов: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $. Геометрически это означает, что прямые параллельны и не совпадают.
- Единственное решение: коэффициенты при переменных не пропорциональны: $ \frac{A_1}{A_2} \neq \frac{B_1}{B_2} $. Геометрически это означает, что прямые пересекаются в одной точке.

а)

Дана система:
$ (k+2)x + 6y = 30 - 5k $
$ 6x + (k+7)y = 30 $

Коэффициенты системы: $A_1 = k+2, B_1 = 6, C_1 = 30-5k$ и $A_2 = 6, B_2 = k+7, C_2 = 30$.
Условие, при котором система имеет не единственное решение (прямые параллельны или совпадают), выражается равенством отношений коэффициентов при переменных:
$ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \implies \frac{k+2}{6} = \frac{6}{k+7} $

Решим это уравнение:
$ (k+2)(k+7) = 36 $
$ k^2 + 9k + 14 = 36 $
$ k^2 + 9k - 22 = 0 $
Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант): $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = -11 $.

Теперь для каждого найденного значения $k$ необходимо сравнить отношение коэффициентов при переменных с отношением свободных членов $ \frac{C_1}{C_2} = \frac{30-5k}{30} = \frac{6-k}{6} $.

Случай 1: $k=2$
Отношение коэффициентов: $ \frac{k+2}{6} = \frac{2+2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{6-k}{6} = \frac{6-2}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $.
Поскольку все три отношения равны ($ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $), система имеет бесконечное множество решений.

Случай 2: $k=-11$
Отношение коэффициентов: $ \frac{k+2}{6} = \frac{-11+2}{6} = \frac{-9}{6} = -\frac{3}{2} $.
Отношение свободных членов: $ \frac{6-k}{6} = \frac{6-(-11)}{6} = \frac{17}{6} $.
Поскольку $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $, система не имеет решений.

Ответ: бесконечное множество решений — при $k=2$; нет решений — при $k=-11$.

б)

Дана система:
$ kx + 2y = k+2 $
$ (2k+1)x + (k+1)y = 2k+1 $

Коэффициенты: $A_1 = k, B_1 = 2, C_1 = k+2$ и $A_2 = 2k+1, B_2 = k+1, C_2 = 2k+1$.
Условие отсутствия единственного решения: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \implies \frac{k}{2k+1} = \frac{2}{k+1} $.

Решим это уравнение:
$ k(k+1) = 2(2k+1) $
$ k^2 + k = 4k + 2 $
$ k^2 - 3k - 2 = 0 $
Корни: $ k = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+8}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $.

Бесконечное множество решений
Для этого необходимо, чтобы выполнялось полное равенство пропорций: $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $.
Рассмотрим равенство $ \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $:
$ \frac{2}{k+1} = \frac{k+2}{2k+1} $
$ 2(2k+1) = (k+1)(k+2) \implies 4k+2 = k^2+3k+2 \implies k^2 - k = 0 $.
Корни этого уравнения: $k=0$ и $k=1$.
Для бесконечного множества решений необходимо, чтобы $k$ было решением обоих уравнений: $k^2 - 3k - 2 = 0$ и $k^2 - k = 0$. Так как у этих уравнений нет общих корней, то не существует такого $k$, при котором система имела бы бесконечное множество решений.

Нет решений
Это условие ($ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} $) выполняется, когда $k$ является корнем уравнения $k^2 - 3k - 2 = 0$, то есть $ k = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $.
При этих значениях $k$ отношения $ \frac{A_1}{A_2} $ и $ \frac{B_1}{B_2} $ равны. Мы должны убедиться, что они не равны $ \frac{C_1}{C_2} $.
Это эквивалентно тому, что $k$ не является решением уравнения $k^2 - k = 0$.
Действительно, значения $ \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $ не равны ни 0, ни 1.
Следовательно, при $ k = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} $ система не имеет решений.

Ответ: бесконечное множество решений — нет таких значений $k$; нет решений — при $k = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.