Номер 62, страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 62, страница 370.

62 a) $$\begin{cases} -x+y-z=14 \\ 3x+y+2z=-2 \\ 2x-y-3z=1 \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x+2y+3z=6 \\ 2x+3y+z=6 \\ 3x+y+2z=6 \end{cases}$$

а)

Дана система линейных уравнений:

$\begin{cases} -x + y - z = 14 \\ 3x + y + 2z = -2 \\ 2x - y - 3z = 1 \end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения (методом исключения). Цель — избавиться от одной из переменных в двух уравнениях.

1. Сложим второе и третье уравнения, чтобы исключить переменную $y$:

$(3x + y + 2z) + (2x - y - 3z) = -2 + 1$

$5x - z = -1$

2. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы также исключить $y$:

$(3x + y + 2z) - (-x + y - z) = -2 - 14$

$3x + y + 2z + x - y + z = -16$

$4x + 3z = -16$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными $x$ и $z$:

$\begin{cases} 5x - z = -1 \\ 4x + 3z = -16 \end{cases}$

Из первого уравнения новой системы выразим $z$ через $x$:

$z = 5x + 1$

Подставим это выражение для $z$ во второе уравнение новой системы:

$4x + 3(5x + 1) = -16$

$4x + 15x + 3 = -16$

$19x = -19$

$x = -1$

Теперь найдем $z$, подставив найденное значение $x$ в выражение $z = 5x + 1$:

$z = 5(-1) + 1 = -5 + 1 = -4$

Наконец, найдем $y$, подставив значения $x = -1$ и $z = -4$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое уравнение: $-x + y - z = 14$.

$-(-1) + y - (-4) = 14$

$1 + y + 4 = 14$

$y + 5 = 14$

$y = 9$

Проверим найденное решение $(-1; 9; -4)$, подставив его во все уравнения исходной системы:

1) $-(-1) + 9 - (-4) = 1 + 9 + 4 = 14$ (Верно)

2) $3(-1) + 9 + 2(-4) = -3 + 9 - 8 = -2$ (Верно)

3) $2(-1) - 9 - 3(-4) = -2 - 9 + 12 = 1$ (Верно)

Ответ: $x = -1, y = 9, z = -4$.

б)

Дана система линейных уравнений:

$\begin{cases} x + 2y + 3z = 6 \\ 2x + 3y + z = 6 \\ 3x + y + 2z = 6 \end{cases}$

Это симметричная система. Заметим, что правые части всех уравнений равны. Сложим все три уравнения системы:

$(x + 2y + 3z) + (2x + 3y + z) + (3x + y + 2z) = 6 + 6 + 6$

$(x+2x+3x) + (2y+3y+y) + (3z+z+2z) = 18$

$6x + 6y + 6z = 18$

Разделим обе части полученного уравнения на 6:

$x + y + z = 3$

Теперь у нас есть более простое четвертое уравнение. Мы можем использовать его для нахождения переменных. Вычтем это новое уравнение из первого исходного уравнения:

$(x + 2y + 3z) - (x + y + z) = 6 - 3$

$y + 2z = 3$

Теперь вычтем второе исходное уравнение из удвоенного нового уравнения $2(x+y+z) = 6$:

$(2x + 2y + 2z) - (2x + 3y + z) = 6 - 6$

$-y + z = 0$, откуда следует, что $z = y$.

Теперь у нас есть простая система из двух уравнений:

$\begin{cases} y + 2z = 3 \\ z = y \end{cases}$

Подставим $z = y$ в первое уравнение этой системы:

$y + 2y = 3$

$3y = 3$

$y = 1$

Так как $z = y$, то $z = 1$.

Теперь найдем $x$, подставив значения $y=1$ и $z=1$ в уравнение $x + y + z = 3$:

$x + 1 + 1 = 3$

$x + 2 = 3$

$x = 1$

Проверим найденное решение $(1; 1; 1)$, подставив его во все уравнения исходной системы:

1) $1 + 2(1) + 3(1) = 1 + 2 + 3 = 6$ (Верно)

2) $2(1) + 3(1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6$ (Верно)

3) $3(1) + 1 + 2(1) = 3 + 1 + 2 = 6$ (Верно)

Ответ: $x = 1, y = 1, z = 1$.