Номер 65, страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Системы уравнений - номер 65, страница 370.

Условие.

65 При каком значении $a$ система уравнений $ \begin{cases} 2x + (a + 1)y = 5 \\ (a + 2)x + 6y = 8 + a \end{cases} $

а) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет единственное решение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Рассмотрим данную систему линейных уравнений с параметром $a$:

$$ \begin{cases} 2x + (a + 1)y = 5 \\ (a + 2)x + 6y = 8 + a \end{cases} $$

Количество решений такой системы зависит от определителя матрицы коэффициентов и соотношения свободных членов. Общий вид системы:

$$ \begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases} $$

В нашем случае коэффициенты равны:

$A_1 = 2$, $B_1 = a + 1$, $C_1 = 5$

$A_2 = a + 2$, $B_2 = 6$, $C_2 = 8 + a$

Система имеет единственное решение, если определитель основной матрицы отличен от нуля. Найдем этот определитель (Δ):

$ \Delta = A_1 B_2 - A_2 B_1 = 2 \cdot 6 - (a + 2)(a + 1) $

$ \Delta = 12 - (a^2 + a + 2a + 2) = 12 - (a^2 + 3a + 2) = -a^2 - 3a + 10 $

Система имеет единственное решение при $ \Delta \ne 0 $. Если $ \Delta = 0 $, система может не иметь решений или иметь бесконечно много решений.

Найдем значения $a$, при которых определитель равен нулю:

$ -a^2 - 3a + 10 = 0 $

Умножим на -1 для удобства:

$ a^2 + 3a - 10 = 0 $

Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни легко находятся подбором: это числа 2 и -5, так как их произведение равно -10, а сумма равна -3.

Итак, $ \Delta = 0 $ при $ a = 2 $ и $ a = -5 $. Эти два случая требуют отдельного рассмотрения. Во всех остальных случаях система будет иметь единственное решение.

а) не имеет решений;

Система не имеет решений, если определитель $ \Delta = 0 $, но при этом уравнения противоречат друг другу. Это соответствует условию $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2} $. Проверим значения $ a = 2 $ и $ a = -5 $.

Случай 1: $ a = -5 $

Подставим $ a = -5 $ в исходную систему:

$$ \begin{cases} 2x + (-5 + 1)y = 5 \\ (-5 + 2)x + 6y = 8 + (-5) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x - 4y = 5 \\ -3x + 6y = 3 \end{cases} $$

Упростим второе уравнение, разделив его на 3:

$$ \begin{cases} 2x - 4y = 5 \\ -x + 2y = 1 \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на -2:

$$ \begin{cases} 2x - 4y = 5 \\ 2x - 4y = -2 \end{cases} $$

Мы получили противоречие: выражение $ 2x - 4y $ не может одновременно быть равно 5 и -2. Следовательно, при $ a = -5 $ система не имеет решений.

Ответ: при $a = -5$.

б) имеет бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если $ \Delta = 0 $ и уравнения являются пропорциональными (одно является следствием другого). Это соответствует условию $ \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} $. Проверим оставшееся значение $ a = 2 $.

Случай 2: $ a = 2 $

Подставим $ a = 2 $ в исходную систему:

$$ \begin{cases} 2x + (2 + 1)y = 5 \\ (2 + 2)x + 6y = 8 + 2 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases} $$

Разделим второе уравнение на 2:

$$ \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases} $$

Оба уравнения стали идентичными. Это означает, что любое решение, удовлетворяющее первому уравнению, также удовлетворяет и второму. Система имеет бесконечно много решений (все точки, лежащие на прямой $ 2x + 3y = 5 $).

Ответ: при $a = 2$.

в) имеет единственное решение?

Система имеет единственное решение, когда определитель основной матрицы не равен нулю, то есть $ \Delta \ne 0 $.

Мы ранее нашли, что $ \Delta = -a^2 - 3a + 10 $.

Условие $ \Delta \ne 0 $ эквивалентно $ -a^2 - 3a + 10 \ne 0 $, или $ a^2 + 3a - 10 \ne 0 $.

Корнями уравнения $ a^2 + 3a - 10 = 0 $ являются $ a = 2 $ и $ a = -5 $.

Следовательно, система будет иметь единственное решение при всех значениях $a$, кроме 2 и -5.

Ответ: при $a \in (-\infty; -5) \cup (-5; 2) \cup (2; +\infty)$, или $a \ne -5$ и $a \ne 2$.