Номер 64, страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 64, страница 370.

64 При каком значении a система уравнений $\begin{cases} ax + y = a \\ x + (2a + 1)y = a + 2 \end{cases}$

a) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет единственное решение?

Для анализа количества решений данной системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера. Система имеет вид:

$$\begin{cases}ax + 1 \cdot y = a \\1 \cdot x + (2a + 1)y = a + 2\end{cases}$$

Вычислим главный определитель системы $\Delta$:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & 2a+1 \end{vmatrix} = a(2a+1) - 1 \cdot 1 = 2a^2 + a - 1$$

Также вычислим вспомогательные определители $\Delta_x$ и $\Delta_y$:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} a & 1 \\ a+2 & 2a+1 \end{vmatrix} = a(2a+1) - 1(a+2) = 2a^2 + a - a - 2 = 2a^2 - 2$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} a & a \\ 1 & a+2 \end{vmatrix} = a(a+2) - 1 \cdot a = a^2 + 2a - a = a^2 + a$$

Количество решений системы зависит от значений этих определителей. Рассмотрим каждый случай, заданный в вопросе.

а) не имеет решений;

Система не имеет решений, если ее главный определитель равен нулю ($\Delta = 0$), а хотя бы один из вспомогательных определителей ($\Delta_x$ или $\Delta_y$) отличен от нуля.

Сначала найдем значения $a$, при которых $\Delta = 0$. Решим квадратное уравнение:

$$2a^2 + a - 1 = 0$$

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9$. Корни уравнения: $a_1 = \frac{-1-3}{4} = -1$ и $a_2 = \frac{-1+3}{4} = 0.5$.

Теперь проверим эти значения. Рассмотрим $a = 0.5$:

При $a = 0.5$, главный определитель $\Delta = 2(0.5)^2 + 0.5 - 1 = 0.5 + 0.5 - 1 = 0$.

Вычислим вспомогательный определитель $\Delta_x$ при $a=0.5$:

$$\Delta_x = 2(0.5)^2 - 2 = 2 \cdot 0.25 - 2 = 0.5 - 2 = -1.5 \neq 0$$

Поскольку при $a = 0.5$ главный определитель $\Delta = 0$, а вспомогательный определитель $\Delta_x \neq 0$, система не имеет решений.

Ответ: при $a = 0.5$.

б) имеет бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если все определители равны нулю: $\Delta = 0$, $\Delta_x = 0$ и $\Delta_y = 0$.

Мы уже знаем, что $\Delta = 0$ при $a = -1$ и $a = 0.5$. Случай $a = 0.5$ рассмотрен выше.

Проверим значение $a = -1$:

При $a = -1$, главный определитель $\Delta = 2(-1)^2 + (-1) - 1 = 2 - 1 - 1 = 0$.

Вычислим вспомогательные определители при $a=-1$:

$$\Delta_x = 2(-1)^2 - 2 = 2 - 2 = 0$$

$$\Delta_y = (-1)^2 + (-1) = 1 - 1 = 0$$

Так как при $a = -1$ все три определителя равны нулю, система имеет бесконечно много решений.

Ответ: при $a = -1$.

в) имеет единственное решение?

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ее главный определитель не равен нулю: $\Delta \neq 0$.

Мы установили, что $\Delta = 0$ при $a = -1$ и $a = 0.5$.

Следовательно, при всех остальных значениях $a$ определитель $\Delta \neq 0$, и система будет иметь единственное решение.

Ответ: при $a \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0.5) \cup (0.5; +\infty)$.