Номер 57, страница 369 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Рациональные уравнения. Задания для повторения - номер 57, страница 369.

57 Среди каких рациональных чисел следует искать корни многочлена, если они существуют:

а) $P_3 (x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2;$

б) $P_3 (x) = 2x^3 + 3x^2 - 3;$

в) $P_3 (x) = 2x^3 + 2x^2 - x - 1;$

г) $P_4 (x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 3x - 6?$

Для решения этой задачи используется теорема о рациональных корнях многочлена. Она гласит, что если многочлен с целыми коэффициентами $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ имеет рациональный корень $x = p/q$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа, $q \neq 0$), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — натуральным делителем старшего коэффициента $a_n$.

а) $P_3(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$

Здесь старший коэффициент $a_3 = 1$, а свободный член $a_0 = -2$.

Находим все целые делители свободного члена $a_0 = -2$. Это числа $p \in \{\pm1, \pm2\}$.

Находим все натуральные делители старшего коэффициента $a_3 = 1$. Это число $q \in \{1\}$.

Возможные рациональные корни — это всевозможные дроби вида $p/q$. Составляем их список: $\frac{\pm1}{1}, \frac{\pm2}{1}$.

Ответ: $\{\pm1, \pm2\}$.

б) $P_3(x) = 2x^3 + 3x^2 - 3$

Здесь старший коэффициент $a_3 = 2$, а свободный член $a_0 = -3$.

Делители свободного члена $a_0 = -3$: $p \in \{\pm1, \pm3\}$.

Натуральные делители старшего коэффициента $a_3 = 2$: $q \in \{1, 2\}$.

Составляем список всех возможных дробей $p/q$: $\frac{\pm1}{1}, \frac{\pm1}{2}, \frac{\pm3}{1}, \frac{\pm3}{2}$.

Ответ: $\{\pm1, \pm3, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{3}{2}\}$.

в) $P_3(x) = 2x^3 + 2x^2 - x - 1$

Здесь старший коэффициент $a_3 = 2$, а свободный член $a_0 = -1$.

Делители свободного члена $a_0 = -1$: $p \in \{\pm1\}$.

Натуральные делители старшего коэффициента $a_3 = 2$: $q \in \{1, 2\}$.

Составляем список всех возможных дробей $p/q$: $\frac{\pm1}{1}, \frac{\pm1}{2}$.

Ответ: $\{\pm1, \pm\frac{1}{2}\}$.

г) $P_4(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 + 3x - 6$

Здесь старший коэффициент $a_4 = 1$, а свободный член $a_0 = -6$.

Делители свободного члена $a_0 = -6$: $p \in \{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}$.

Натуральные делители старшего коэффициента $a_4 = 1$: $q \in \{1\}$.

Составляем список всех возможных дробей $p/q$: $\frac{\pm1}{1}, \frac{\pm2}{1}, \frac{\pm3}{1}, \frac{\pm6}{1}$.

Ответ: $\{\pm1, \pm2, \pm3, \pm6\}$.