Номер 60, страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 60, страница 370.

Системы уравнений

Решите систему уравнений (60—62):

60 а)

$\begin{cases} 3x + y = 13 \\ x - y = 3 \end{cases}$;

60 б)

$\begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$;

60 в)

$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + y = 5 \end{cases}$;

60 г)

$\begin{cases} 2x + y - 1 = 0 \\ x - 2y + 5 = 0 \end{cases}$;

60 д)

$\begin{cases} 2x + 3y = 165 \\ 5x + 2y = 330 \end{cases}$;

60 е)

$\begin{cases} 2x + 3y = 49 \\ 3x + 2y = 46 \end{cases}$.

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + y = 13 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения, так как коэффициенты при переменной $y$ противоположны. Сложим левые и правые части уравнений:
$(3x + y) + (x - y) = 13 + 3$
$4x = 16$
$x = \frac{16}{4}$
$x = 4$
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из уравнений системы, например, во второе:
$4 - y = 3$
$-y = 3 - 4$
$-y = -1$
$y = 1$
Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение: $3(4) + 1 = 12 + 1 = 13$. Решение верное.
Ответ: (4; 1).

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - 2y = 8 \end{cases} $
Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 1 - 2x$
Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$x - 2(1 - 2x) = 8$
$x - 2 + 4x = 8$
$5x = 8 + 2$
$5x = 10$
$x = 2$
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 2$ в выражение для $y$:
$y = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$
Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $2 - 2(-3) = 2 + 6 = 8$. Решение верное.
Ответ: (2; -3).

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + y = 5 \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = 5 - 3x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x + 3(5 - 3x) = 1$
$2x + 15 - 9x = 1$
$-7x = 1 - 15$
$-7x = -14$
$x = \frac{-14}{-7} = 2$
Найдем $y$:
$y = 5 - 3(2) = 5 - 6 = -1$
Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $3(2) + (-1) = 6 - 1 = 5$. Решение верное.
Ответ: (2; -1).

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + y - 1 = 0 \\ x - 2y + 5 = 0 \end{cases} $
Сначала приведем уравнения к стандартному виду: $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ x - 2y = -5 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:
$2(2x + y) = 2 \cdot 1 \implies 4x + 2y = 2$
Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 4x + 2y = 2 \\ x - 2y = -5 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(4x + 2y) + (x - 2y) = 2 + (-5)$
$5x = -3$
$x = -\frac{3}{5}$
Подставим $x = -\frac{3}{5}$ в уравнение $2x + y = 1$:
$2(-\frac{3}{5}) + y = 1$
$-\frac{6}{5} + y = 1$
$y = 1 + \frac{6}{5} = \frac{5}{5} + \frac{6}{5} = \frac{11}{5}$
Ответ: $(-\frac{3}{5}; \frac{11}{5})$.

д) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y = 165 \\ 5x + 2y = 330 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3:
$ \begin{cases} 2(2x + 3y) = 2 \cdot 165 \\ -3(5x + 2y) = -3 \cdot 330 \end{cases} $
$ \begin{cases} 4x + 6y = 330 \\ -15x - 6y = -990 \end{cases} $
Сложим полученные уравнения:
$(4x - 15x) + (6y - 6y) = 330 - 990$
$-11x = -660$
$x = \frac{-660}{-11} = 60$
Подставим $x = 60$ в первое исходное уравнение:
$2(60) + 3y = 165$
$120 + 3y = 165$
$3y = 165 - 120$
$3y = 45$
$y = \frac{45}{3} = 15$
Проверим, подставив найденные значения во второе уравнение: $5(60) + 2(15) = 300 + 30 = 330$. Решение верное.
Ответ: (60; 15).

е) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y = 49 \\ 3x + 2y = 46 \end{cases} $
Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы исключить $x$:
$ \begin{cases} 3(2x + 3y) = 3 \cdot 49 \\ -2(3x + 2y) = -2 \cdot 46 \end{cases} $
$ \begin{cases} 6x + 9y = 147 \\ -6x - 4y = -92 \end{cases} $
Сложим уравнения:
$(6x - 6x) + (9y - 4y) = 147 - 92$
$5y = 55$
$y = \frac{55}{5} = 11$
Подставим $y = 11$ во второе исходное уравнение:
$3x + 2(11) = 46$
$3x + 22 = 46$
$3x = 46 - 22$
$3x = 24$
$x = \frac{24}{3} = 8$
Проверим, подставив найденные значения в первое уравнение: $2(8) + 3(11) = 16 + 33 = 49$. Решение верное.
Ответ: (8; 11).