Номер 63, страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 63, страница 370.

ИССЛЕДУЕМ (63–68):

63 При каком значении a система уравнений

$\begin{cases} ax + 3y = 5 \\ 4x + (4 + a)y = 10 \end{cases}$

a) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет единственное решение?

Для анализа системы линейных уравнений $ \begin{cases} ax + 3y = 5 \\ 4x + (4 + a)y = 10 \end{cases} $ воспользуемся условиями, связывающими коэффициенты уравнений вида $ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $.

Коэффициенты нашей системы: $ a_1 = a $, $ b_1 = 3 $, $ c_1 = 5 $, $ a_2 = 4 $, $ b_2 = 4+a $, $ c_2 = 10 $.

Составим отношения коэффициентов:

$ \frac{a_1}{a_2} = \frac{a}{4} $

$ \frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{4+a} $

$ \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $

Ключевым для определения количества решений является соотношение $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} $. Решим это уравнение относительно $ a $ (при условии $ 4+a \neq 0 $):

$ a(4+a) = 4 \cdot 3 $

$ 4a + a^2 = 12 $

$ a^2 + 4a - 12 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а произведение -12. Корнями являются $ a = 2 $ и $ a = -6 $.

Теперь рассмотрим каждый из требуемых случаев.

а) не имеет решений

Система не имеет решений, если отношения коэффициентов при переменных равны, но не равны отношению свободных членов. То есть, должно выполняться условие: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2} $.

В нашем случае: $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} \neq \frac{1}{2} $.

Мы уже нашли, что равенство $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} $ выполняется при $ a = 2 $ и $ a = -6 $. Теперь нужно проверить, для какого из этих значений выполняется неравенство с $ \frac{1}{2} $.

1. Проверяем $ a = 2 $:

$ \frac{a}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $.

Так как $ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $, условие $ \neq \frac{1}{2} $ не выполняется. Значит, $ a=2 $ не подходит.

2. Проверяем $ a = -6 $:

$ \frac{a}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} $.

Сравниваем с $ \frac{1}{2} $: $ -\frac{3}{2} \neq \frac{1}{2} $. Условие выполняется.

Следовательно, при $ a = -6 $ система не имеет решений.

Ответ: $ a = -6 $.

б) имеет бесконечно много решений

Система имеет бесконечно много решений, если отношения коэффициентов при переменных и отношения свободных членов равны. То есть, должно выполняться условие: $ \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} $.

В нашем случае: $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} = \frac{1}{2} $.

Из пункта а) мы знаем, что при $ a = 2 $ все три отношения равны $ \frac{1}{2} $.

$ \frac{2}{4} = \frac{3}{4+2} = \frac{5}{10} \implies \frac{1}{2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.

Все части равенства верны. Следовательно, при $ a = 2 $ система имеет бесконечно много решений.

Ответ: $ a = 2 $.

в) имеет единственное решение

Система имеет единственное решение, если отношения коэффициентов при переменных не равны. То есть, должно выполняться условие: $ \frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2} $.

В нашем случае: $ \frac{a}{4} \neq \frac{3}{4+a} $.

Мы выяснили, что равенство $ \frac{a}{4} = \frac{3}{4+a} $ выполняется при $ a = 2 $ и $ a = -6 $. Следовательно, неравенство будет выполняться при всех остальных значениях $ a $.

Таким образом, система имеет единственное решение при всех значениях $ a $, кроме 2 и -6.

Ответ: $ a \neq 2 $ и $ a \neq -6 $, что можно записать в виде объединения интервалов: $ a \in (-\infty; -6) \cup (-6; 2) \cup (2; +\infty) $.