Номер 66, страница 370 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 66, страница 370.

66 При каком значении $a$ система уравнений $\begin{cases} x + (a^2 - 3)y = a \\ x + y = 2 \end{cases}$

а) не имеет решений;

б) имеет бесконечно много решений;

в) имеет единственное решение?

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + (a^2 - 3)y = a \\ x + y = 2 \end{cases} $$ Для исследования количества решений системы воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную x из второго уравнения и подставим её в первое уравнение.

Из второго уравнения получаем: $x = 2 - y$.

Подставляем это выражение для x в первое уравнение системы: $(2 - y) + (a^2 - 3)y = a$

Теперь решим полученное уравнение относительно y. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $2 - y + a^2y - 3y = a$ $(a^2 - 1 - 3)y = a - 2$ $(a^2 - 4)y = a - 2$

Мы получили линейное уравнение вида $C \cdot y = D$, где коэффициент $C = a^2 - 4$, а свободный член $D = a - 2$. Количество решений этого уравнения, а значит и всей системы, зависит от значений параметра a.

а) не имеет решений;

Система не будет иметь решений в том случае, если уравнение $(a^2 - 4)y = a - 2$ не имеет решений. Линейное уравнение не имеет решений, когда коэффициент при переменной равен нулю, а правая часть не равна нулю. То есть, должны выполняться условия: $$ \begin{cases} a^2 - 4 = 0 \\ a - 2 \neq 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения $a^2 - 4 = 0$ находим, что $(a-2)(a+2) = 0$, откуда $a = 2$ или $a = -2$.

Теперь проверим второе условие $a - 2 \neq 0$ для найденных значений a.

- При $a = 2$, правая часть $a - 2 = 2 - 2 = 0$. Условие $a - 2 \neq 0$ не выполняется.

- При $a = -2$, правая часть $a - 2 = -2 - 2 = -4$. Условие $a - 2 \neq 0$ выполняется.

Следовательно, система не имеет решений только при $a = -2$. В этом случае уравнение для y принимает вид $0 \cdot y = -4$, что невозможно.
Ответ: при $a = -2$.

б) имеет бесконечно много решений;

Система имеет бесконечно много решений, если уравнение $(a^2 - 4)y = a - 2$ имеет бесконечно много решений. Это возможно, если и коэффициент при переменной, и правая часть равны нулю. То есть, должны выполняться условия: $$ \begin{cases} a^2 - 4 = 0 \\ a - 2 = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения $a - 2 = 0$ следует, что $a = 2$.

Проверим, выполняется ли при этом значении первое условие: $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$. Условие выполняется.

Таким образом, при $a = 2$ оба коэффициента обращаются в ноль, и уравнение для y принимает вид $0 \cdot y = 0$. Это равенство верно для любого значения y, что означает наличие бесконечного множества решений системы.
Ответ: при $a = 2$.

в) имеет единственное решение?

Система имеет единственное решение, если уравнение $(a^2 - 4)y = a - 2$ имеет единственное решение. Это происходит тогда, когда коэффициент при переменной y не равен нулю. То есть, должно выполняться условие: $a^2 - 4 \neq 0$

Решая это неравенство, получаем: $a^2 \neq 4$ $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

При всех значениях a, кроме $2$ и $-2$, мы можем найти единственное значение y: $y = \frac{a-2}{a^2-4} = \frac{a-2}{(a-2)(a+2)} = \frac{1}{a+2}$. Ему будет соответствовать единственное значение $x = 2 - y$.
Ответ: при $a \neq 2$ и $a \neq -2$.