Номер 73, страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 73, страница 371.

73 $\begin{cases} |x-1| + |y-5| = 1 \\ y = 5 + |x-1|. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом подстановки. Рассмотрим второе уравнение системы:

$y = 5 + |x - 1|$

Из этого уравнения можно выразить $|x - 1|$:

$|x - 1| = y - 5$

Так как значение модуля любого выражения не может быть отрицательным, то есть $|x - 1| \ge 0$, мы можем сделать вывод, что $y - 5 \ge 0$, а значит $y \ge 5$.

Теперь подставим полученное выражение для $|x - 1|$ в первое уравнение системы:

$|x - 1| + |y - 5| = 1$

$(y - 5) + |y - 5| = 1$

Поскольку мы уже установили, что $y \ge 5$, то выражение под знаком модуля $y - 5$ является неотрицательным. Это означает, что $|y - 5| = y - 5$. Подставим это в уравнение:

$(y - 5) + (y - 5) = 1$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $y$:

$2(y - 5) = 1$

$y - 5 = \frac{1}{2}$

$y = 5 + \frac{1}{2}$

$y = 5.5$

Найденное значение $y=5.5$ удовлетворяет условию $y \ge 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$. Для этого подставим значение $y$ в выражение $|x - 1| = y - 5$:

$|x - 1| = 5.5 - 5$

$|x - 1| = 0.5$

Данное уравнение с модулем имеет два решения:

1) $x - 1 = 0.5 \implies x = 1.5$

2) $x - 1 = -0.5 \implies x = 0.5$

Таким образом, система имеет два решения: $(1.5; 5.5)$ и $(0.5; 5.5)$.

Проверим найденные решения, подставив их в исходную систему.

Для точки $(1.5; 5.5)$:

$|1.5 - 1| + |5.5 - 5| = |0.5| + |0.5| = 0.5 + 0.5 = 1$

$5.5 = 5 + |1.5 - 1| \implies 5.5 = 5 + 0.5 \implies 5.5 = 5.5$

Оба равенства верны, решение корректно.

Для точки $(0.5; 5.5)$:

$|0.5 - 1| + |5.5 - 5| = |-0.5| + |0.5| = 0.5 + 0.5 = 1$

$5.5 = 5 + |0.5 - 1| \implies 5.5 = 5 + |-0.5| \implies 5.5 = 5 + 0.5 \implies 5.5 = 5.5$

Оба равенства верны, второе решение также корректно.

Ответ: $(0.5; 5.5), (1.5; 5.5)$.