Номер 75, страница 371 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы уравнений. Задания для повторения - номер 75, страница 371.

75 а) $\begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы, чтобы получить одно уравнение с двумя переменными, которое может быть проще.

$(x^2 - 4x - 2y - 1) + (y^2 - 2x + 6y + 14) = 0$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0$

Это уравнение похоже на уравнение окружности. Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных чисел (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

Отсюда получаем систему:

$ \begin{cases} (x - 3)^2 = 0 \\ (y + 2)^2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x - 3 = 0 \\ y + 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases} $

Мы получили единственное возможное решение $(3, -2)$. Выполним проверку, подставив эти значения в оба исходных уравнения.

Проверка для первого уравнения: $x^2 - 4x - 2y - 1 = 0$

$3^2 - 4(3) - 2(-2) - 1 = 9 - 12 + 4 - 1 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения: $y^2 - 2x + 6y + 14 = 0$

$(-2)^2 - 2(3) + 6(-2) + 14 = 4 - 6 - 12 + 14 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение $(3, -2)$ удовлетворяет обоим уравнениям системы.

Ответ: $(3, -2)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(x^2 - 4x + 4y + 27) + (y^2 + 2x + 8y + 10) = 0$

$x^2 - 2x + y^2 + 12y + 37 = 0$

Выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 12y + 36) - 36 + 37 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 - 37 + 37 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю, только если каждое слагаемое равно нулю.

$ \begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 6 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = -6 \end{cases} $

Получили решение $(1, -6)$. Проверим его, подставив в исходную систему.

Проверка для первого уравнения: $x^2 - 4x + 4y + 27 = 0$

$1^2 - 4(1) + 4(-6) + 27 = 1 - 4 - 24 + 27 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения: $y^2 + 2x + 8y + 10 = 0$

$(-6)^2 + 2(1) + 8(-6) + 10 = 36 + 2 - 48 + 10 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение $(1, -6)$ является верным.

Ответ: $(1, -6)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0 \end{cases} $

Сложим оба уравнения:

$(x^2 - 6x - 3y - 1) + (y^2 + 2x + 9y + 14) = 0$

$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$

Это равенство возможно только если оба слагаемых равны нулю.

$ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y + 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 2 \\ y = -3 \end{cases} $

Получили решение $(2, -3)$. Проверим его.

Проверка для первого уравнения: $x^2 - 6x - 3y - 1 = 0$

$2^2 - 6(2) - 3(-3) - 1 = 4 - 12 + 9 - 1 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения: $y^2 + 2x + 9y + 14 = 0$

$(-3)^2 + 2(2) + 9(-3) + 14 = 9 + 4 - 27 + 14 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение $(2, -3)$ является верным.

Ответ: $(2, -3)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0 \end{cases} $

В этой системе вычитание одного уравнения из другого привело бы к упрощению, но метод сложения также работает и приводит к результату аналогично предыдущим пунктам. Сложим уравнения:

$(x^2 + 7x - y + 11) + (y^2 + 3x - y + 15) = 0$

Такой подход не упрощает задачу. Попробуем сложить по-другому или вычесть. Если вычесть второе из первого, то получим $x^2 - y^2 + 4x - 4 = 0$, что не сильно помогает. Посмотрим, нет ли опечатки в условии. Предположим, что во втором уравнении перед $y$ должен быть плюс. Если бы система была $x^2+7x-y+11=0$ и $y^2+3x+y+15=0$, то при сложении получили бы $x^2+y^2+10x+26=0$, что тоже не упрощается до точки.

Вернемся к исходной системе и попробуем снова сложить уравнения, возможно, я допустил ошибку в расчетах ранее.$(x^2 + 7x - y + 11) + (y^2 + 3x - y + 15) = x^2+y^2+10x-2y+26=0$.Да, это уравнение окружности. Выделим полные квадраты.$(x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 26 = 0$$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 - 26 + 26 = 0$$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю, если каждый квадрат равен нулю.

$ \begin{cases} x + 5 = 0 \\ y - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -5 \\ y = 1 \end{cases} $

Получили решение $(-5, 1)$. Выполним проверку.

Проверка для первого уравнения: $x^2 + 7x - y + 11 = 0$

$(-5)^2 + 7(-5) - 1 + 11 = 25 - 35 - 1 + 11 = -10 - 1 + 11 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения: $y^2 + 3x - y + 15 = 0$

$1^2 + 3(-5) - 1 + 15 = 1 - 15 - 1 + 15 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение $(-5, 1)$ является верным.

Ответ: $(-5, 1)$.