Номер 78, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 78, страница 372.

78 а) $\frac{3}{5}(3x - 1) > \frac{1}{8}(4 - x);$

б) $\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{4} - \frac{2x+1}{9}\right) > \frac{x+3}{4} - \frac{x-4}{9}.$

а) Решим неравенство $ \frac{3}{5}(3x - 1) > \frac{1}{8}(4 - x) $.
Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 8, которое равно 40. Так как 40 — положительное число, знак неравенства сохранится.
$ 40 \cdot \frac{3}{5}(3x - 1) > 40 \cdot \frac{1}{8}(4 - x) $
$ 8 \cdot 3(3x - 1) > 5 \cdot 1(4 - x) $
$ 24(3x - 1) > 5(4 - x) $
Теперь раскроем скобки в обеих частях:
$ 24 \cdot 3x - 24 \cdot 1 > 5 \cdot 4 - 5 \cdot x $
$ 72x - 24 > 20 - 5x $
Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую. При переносе через знак неравенства знак слагаемого меняется на противоположный.
$ 72x + 5x > 20 + 24 $
Приведем подобные слагаемые:
$ 77x > 44 $
Разделим обе части неравенства на 77. Так как 77 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$ x > \frac{44}{77} $
Сократим полученную дробь на 11:
$ x > \frac{4}{7} $
Это решение можно записать в виде интервала $ (\frac{4}{7}; +\infty) $.
Ответ: $ x > \frac{4}{7} $.

б) Решим неравенство $ \frac{1}{2} - \left(\frac{x+1}{4} - \frac{2x+1}{9}\right) > \frac{x+3}{4} - \frac{x-4}{9} $.
Для начала раскроем скобки в левой части. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее на противоположные.
$ \frac{1}{2} - \frac{x+1}{4} + \frac{2x+1}{9} > \frac{x+3}{4} - \frac{x-4}{9} $
Теперь избавимся от дробей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 9. НОК(2, 4, 9) = 36. Так как 36 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$ 36 \cdot \frac{1}{2} - 36 \cdot \frac{x+1}{4} + 36 \cdot \frac{2x+1}{9} > 36 \cdot \frac{x+3}{4} - 36 \cdot \frac{x-4}{9} $
$ 18 \cdot 1 - 9(x+1) + 4(2x+1) > 9(x+3) - 4(x-4) $
Раскроем все скобки, внимательно следя за знаками:
$ 18 - 9x - 9 + 8x + 4 > 9x + 27 - 4x + 16 $
Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства.
В левой части: $ (18 - 9 + 4) + (-9x + 8x) = 13 - x $
В правой части: $ (27 + 16) + (9x - 4x) = 43 + 5x $
Неравенство принимает вид:
$ 13 - x > 43 + 5x $
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$ 13 - 43 > 5x + x $
$ -30 > 6x $
Разделим обе части на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не изменится.
$ -5 > x $
Для удобства восприятия запишем результат, поменяв части местами и изменив знак неравенства на противоположный:
$ x < -5 $
Это решение можно записать в виде интервала $ (-\infty; -5) $.
Ответ: $ x < -5 $.