Номер 81, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 81, страница 372.

81 a) $x^2 - 6x + 5 < 0$. Укажите наименьшее целое решение.

б) $x^2 - 9x + 14 \le 0$. Укажите наибольшее целое решение.

a) $x^2 - 6x + 5 < 0$. Укажите наименьшее целое решение.

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Парабола $y = x^2 - 6x + 5$ имеет ветви, направленные вверх (поскольку коэффициент при $x^2$ положителен), и пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$. Неравенство $x^2 - 6x + 5 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $1 < x < 5$, или $x \in (1; 5)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: 2, 3, 4.

Наименьшее из этих целых решений — это 2.

Ответ: 2

б) $x^2 - 9x + 14 \le 0$. Укажите наибольшее целое решение.

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{9 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{9 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Парабола $y = x^2 - 9x + 14$ имеет ветви, направленные вверх, и пересекает ось Ox в точках $x=2$ и $x=7$. Неравенство $x^2 - 9x + 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни (поскольку неравенство нестрогое).

Таким образом, решение неравенства: $2 \le x \le 7$, или $x \in [2; 7]$.

Целые числа, входящие в этот отрезок: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Наибольшее из этих целых решений — это 7.

Ответ: 7