Номер 86, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 86, страница 372.

86 а) $ \frac{2x + 1}{x + 9} < 1; $

б) $ \frac{x + 5}{x - 4} > 1; $

в) $ \frac{x + 4}{x} < 1; $

г) $ x + 7 < - \frac{16}{x - 1}; $

д) $ x < 7 - \frac{16}{x + 1}; $

е) $ x > \frac{2}{x - 1}. $

а) $\frac{2x + 1}{x + 9} < 1$

Перенесем 1 в левую часть неравенства и приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{2x + 1}{x + 9} - 1 < 0$

$\frac{2x + 1 - (x + 9)}{x + 9} < 0$

$\frac{2x + 1 - x - 9}{x + 9} < 0$

$\frac{x - 8}{x + 9} < 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:

Нуль числителя: $x - 8 = 0 \Rightarrow x = 8$.

Нуль знаменателя: $x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое, обе точки будут "выколотыми". Точки -9 и 8 разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -9)$, $(-9, 8)$ и $(8, \infty)$.

Определим знак выражения $\frac{x - 8}{x + 9}$ на каждом из интервалов:

• Интервал $(-\infty, -9)$: возьмем $x = -10$. $\frac{-10 - 8}{-10 + 9} = \frac{-18}{-1} = 18 > 0$. Знак "+".
• Интервал $(-9, 8)$: возьмем $x = 0$. $\frac{0 - 8}{0 + 9} = -\frac{8}{9} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(8, \infty)$: возьмем $x = 10$. $\frac{10 - 8}{10 + 9} = \frac{2}{19} > 0$. Знак "+".

Так как нас интересует, где выражение меньше нуля, выбираем интервал со знаком "-".

Ответ: $x \in (-9, 8)$.

б) $\frac{x + 5}{x - 4} > 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x + 5}{x - 4} - 1 > 0$

$\frac{x + 5 - (x - 4)}{x - 4} > 0$

$\frac{x + 5 - x + 4}{x - 4} > 0$

$\frac{9}{x - 4} > 0$

Числитель дроби, равный 9, является положительным числом. Следовательно, для того чтобы вся дробь была больше нуля, ее знаменатель также должен быть положителен.

$x - 4 > 0$

$x > 4$

Ответ: $x \in (4, \infty)$.

в) $\frac{x + 4}{x} < 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x + 4}{x} - 1 < 0$

$\frac{x + 4 - x}{x} < 0$

$\frac{4}{x} < 0$

Числитель дроби, равный 4, является положительным числом. Для того чтобы вся дробь была меньше нуля, ее знаменатель должен быть отрицателен.

$x < 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0)$.

г) $x + 7 < -\frac{16}{x - 1}$

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:

$x + 7 + \frac{16}{x - 1} < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x + 7)(x - 1) + 16}{x - 1} < 0$

$\frac{x^2 - x + 7x - 7 + 16}{x - 1} < 0$

$\frac{x^2 + 6x + 9}{x - 1} < 0$

В числителе стоит полный квадрат суммы:

$\frac{(x + 3)^2}{x - 1} < 0$

Выражение $(x + 3)^2$ неотрицательно при любых значениях $x$, т.е. $(x + 3)^2 \ge 0$. Так как неравенство строгое, равенство нулю исключается, поэтому $x \neq -3$. При $x \neq -3$ числитель $(x + 3)^2$ строго положителен. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:

$x - 1 < 0 \Rightarrow x < 1$.

Объединяем два условия: $x < 1$ и $x \neq -3$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, 1)$.

д) $x < 7 - \frac{16}{x + 1}$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x - 7 + \frac{16}{x + 1} < 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(x - 7)(x + 1) + 16}{x + 1} < 0$

$\frac{x^2 + x - 7x - 7 + 16}{x + 1} < 0$

$\frac{x^2 - 6x + 9}{x + 1} < 0$

В числителе стоит полный квадрат разности:

$\frac{(x - 3)^2}{x + 1} < 0$

Выражение $(x - 3)^2$ неотрицательно при любых значениях $x$. Так как неравенство строгое, равенство нулю исключается, поэтому $x \neq 3$. При $x \neq 3$ числитель $(x - 3)^2$ строго положителен. Чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть отрицательным:

$x + 1 < 0 \Rightarrow x < -1$.

Условие $x < -1$ автоматически исключает значение $x=3$, поэтому дополнительно его учитывать не нужно.

Ответ: $x \in (-\infty, -1)$.

е) $x > \frac{2}{x - 1}$

Перенесем дробь в левую часть:

$x - \frac{2}{x - 1} > 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{x(x - 1) - 2}{x - 1} > 0$

$\frac{x^2 - x - 2}{x - 1} > 0$

Разложим числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 1$ и $x_1 \cdot x_2 = -2$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Тогда неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 1} > 0$

Решим методом интервалов. Нули числителя: $x = 2, x = -1$. Нуль знаменателя: $x = 1$.

Отметим точки -1, 1, 2 на числовой оси (все точки выколотые). Они разбивают ось на интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, \infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале:

• Интервал $(-\infty, -1)$: возьмем $x = -2$. $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(-1, 1)$: возьмем $x = 0$. $\frac{(-)(+)}{(-)} > 0$. Знак "+".
• Интервал $(1, 2)$: возьмем $x = 1.5$. $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$. Знак "-".
• Интервал $(2, \infty)$: возьмем $x = 3$. $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$. Знак "+".

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (со знаком "+").

Ответ: $x \in (-1, 1) \cup (2, \infty)$.