Номер 93, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 93, страница 373.

93 a) $\frac{x^2 - 9}{(x+1)(x-3)} \ge 0$;

б) $\frac{x^2 - 25}{(x+5)(x-4)} \ge 0$.

а)

Для решения неравенства $ \frac{x^2 - 9}{(x+1)(x-3)} \ge 0 $ воспользуемся методом интервалов.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$(x+1)(x-3) \neq 0$

Это означает, что $x \neq -1$ и $x \neq 3$.

2. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$

3. Перепишем неравенство в новом виде:

$ \frac{(x-3)(x+3)}{(x+1)(x-3)} \ge 0 $

4. Сократим общий множитель $(x-3)$ в числителе и знаменателе, не забывая про ограничение $x \neq 3$ из ОДЗ. Неравенство принимает вид:

$ \frac{x+3}{x+1} \ge 0 $

5. Найдем нули числителя и знаменателя полученной дроби, чтобы определить точки для метода интервалов.

Нуль числителя: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.

Нуль знаменателя: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

6. Нанесем эти точки на числовую ось. Точка $x=-3$ будет закрашенной, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Точка $x=-1$ будет выколотой, так как она обращает знаменатель в ноль.

Определим знак выражения $ \frac{x+3}{x+1} $ на каждом из трех интервалов: $(-\infty; -3]$, $(-3; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

• Интервал $(-\infty; -3]$: возьмем $x=-4$. $ \frac{-4+3}{-4+1} = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3} > 0 $. Знак «+».
• Интервал $(-3; -1)$: возьмем $x=-2$. $ \frac{-2+3}{-2+1} = \frac{1}{-1} = -1 < 0 $. Знак «-».
• Интервал $(-1; +\infty)$: возьмем $x=0$. $ \frac{0+3}{0+1} = \frac{3}{1} = 3 > 0 $. Знак «+».

Решением неравенства $ \frac{x+3}{x+1} \ge 0 $ являются интервалы со знаком «+»: $x \in (-\infty; -3] \cup (-1; +\infty)$.

7. Теперь учтем ограничение $x \neq 3$, которое мы получили на первом шаге. Точка $x=3$ находится в промежутке $(-1; +\infty)$, поэтому мы должны исключить ее из решения.

Таким образом, окончательное решение: $x \in (-\infty; -3] \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3] \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{x^2 - 25}{(x+5)(x-4)} \ge 0 $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$(x+5)(x-4) \neq 0$

Следовательно, $x \neq -5$ и $x \neq 4$.

2. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов:

$x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$

3. Подставим разложение в исходное неравенство:

$ \frac{(x-5)(x+5)}{(x+5)(x-4)} \ge 0 $

4. Сократим дробь на $(x+5)$, помня об ограничении $x \neq -5$ из ОДЗ. Получим более простое неравенство:

$ \frac{x-5}{x-4} \ge 0 $

5. Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $x-5=0 \Rightarrow x=5$.

Нуль знаменателя: $x-4=0 \Rightarrow x=4$.

6. Отметим эти точки на числовой оси. Точка $x=5$ будет закрашенной (неравенство нестрогое), а точка $x=4$ — выколотой (нуль знаменателя).

Определим знак выражения $ \frac{x-5}{x-4} $ на интервалах $(-\infty; 4)$, $(4; 5]$ и $[5; +\infty)$.

• Интервал $(-\infty; 4)$: возьмем $x=0$. $ \frac{0-5}{0-4} = \frac{-5}{-4} = \frac{5}{4} > 0 $. Знак «+».
• Интервал $(4; 5]$: возьмем $x=4.5$. $ \frac{4.5-5}{4.5-4} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0 $. Знак «-».
• Интервал $[5; +\infty)$: возьмем $x=6$. $ \frac{6-5}{6-4} = \frac{1}{2} > 0 $. Знак «+».

Выбираем интервалы со знаком «+», так как неравенство $ \ge 0 $. Решение для упрощенного неравенства: $x \in (-\infty; 4) \cup [5; +\infty)$.

7. Теперь вспомним про ограничение $x \neq -5$. Точка $x=-5$ находится в промежутке $(-\infty; 4)$, поэтому ее нужно исключить.

Окончательное решение: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 4) \cup [5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5) \cup (-5; 4) \cup [5; +\infty)$.