Номер 90, страница 372 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 90, страница 372.

90 a) $x \le \frac{8x - 2}{x + 5};$

б) $\frac{6x + 6}{x + 7} \ge x.$

а)

Решим неравенство $x \le \frac{8x - 2}{x + 5}$.

Для решения перенесем все члены в левую часть, чтобы сравнить выражение с нулем:

$x - \frac{8x - 2}{x + 5} \le 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x(x + 5) - (8x - 2)}{x + 5} \le 0$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{x^2 + 5x - 8x + 2}{x + 5} \le 0$

$\frac{x^2 - 3x + 2}{x + 5} \le 0$

Теперь разложим числитель на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$\frac{(x - 1)(x - 2)}{x + 5} \le 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль:
Нули числителя: $x = 1$, $x = 2$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки будут входить в решение (закрашенные точки на числовой оси).
Нуль знаменателя: $x = -5$. Эта точка не входит в решение, так как знаменатель не может быть равен нулю (выколотая точка на числовой оси).

Нанесем эти точки на числовую ось и определим знаки выражения на получившихся интервалах:

• При $x < -5$ (например, $x=-6$): $\frac{(-)(-)_}{(-)} = -$. Интервал $(-\infty, -5)$ является решением.
• При $-5 < x < 1$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(-)_}{(+)} = +$. Этот интервал не является решением.
• При $1 \le x \le 2$ (например, $x=1.5$): $\frac{(+)(-)_}{(+)} = -$. Интервал $[1, 2]$ является решением.
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)_}{(+)} = +$. Этот интервал не является решением.

Объединяя интервалы, где выражение меньше или равно нулю, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup [1, 2]$.

б)

Решим неравенство $\frac{6x + 6}{x + 7} \ge x$.

Перенесем $x$ в левую часть:

$\frac{6x + 6}{x + 7} - x \ge 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{6x + 6 - x(x + 7)}{x + 7} \ge 0$

Упростим числитель:

$\frac{6x + 6 - x^2 - 7x}{x + 7} \ge 0$

$\frac{-x^2 - x + 6}{x + 7} \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{x^2 + x - 6}{x + 7} \le 0$

Разложим числитель $x^2 + x - 6$ на множители. Найдем корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Используя формулу корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, получаем:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$.
Корни: $x_1 = \frac{-1-5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1+5}{2} = 2$.

Неравенство можно переписать в виде:

$\frac{(x + 3)(x - 2)}{x + 7} \le 0$

Применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нули числителя: $x = -3$, $x = 2$. Эти точки включаются в решение.
Нуль знаменателя: $x = -7$. Эта точка исключается из решения.

Отметим точки $-7, -3, 2$ на числовой оси и определим знаки выражения в каждом интервале:

• При $x < -7$ (например, $x=-8$): $\frac{(-)(-)_}{(-)} = -$. Интервал $(-\infty, -7)$ является решением.
• При $-7 < x < -3$ (например, $x=-5$): $\frac{(-)(-)_}{(+)} = +$. Этот интервал не является решением.
• При $-3 \le x \le 2$ (например, $x=0$): $\frac{(+)(-)_}{(+)} = -$. Интервал $[-3, 2]$ является решением.
• При $x > 2$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)_}{(+)} = +$. Этот интервал не является решением.

Объединяем полученные интервалы.

Ответ: $x \in (-\infty, -7) \cup [-3, 2]$.