Номер 97, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Решение неравенств. Задания для повторения - номер 97, страница 373.

97 а) $ \frac{5}{2 - x} > 1 + \frac{3}{x + 2}; $

б) $ \frac{5}{x + 4} < 1 + \frac{1}{4 - x}; $

в) $ \frac{2}{3 - x} > 1 - \frac{1}{x + 3}; $

г) $ \frac{7}{x + 5} < 1 + \frac{2}{5 - x}. $

а) Решим неравенство $\frac{5}{2-x} > 1 + \frac{3}{x+2}$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $2-x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю:
$\frac{5}{2-x} - 1 - \frac{3}{x+2} > 0$
$\frac{5(x+2) - 1(2-x)(x+2) - 3(2-x)}{(2-x)(x+2)} > 0$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$\frac{5x+10 - (4-x^2) - 6+3x}{(2-x)(x+2)} > 0$
$\frac{5x+10 - 4+x^2 - 6+3x}{(2-x)(x+2)} > 0$
$\frac{x^2+8x}{(2-x)(x+2)} > 0$
Представим знаменатель в виде $-(x-2)(x+2)$ и умножим обе части неравенства на -1, изменив знак на противоположный:
$\frac{x(x+8)}{-(x-2)(x+2)} > 0 \implies \frac{x(x+8)}{(x-2)(x+2)} < 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-8$. Нули знаменателя: $x=2$, $x=-2$.
Отметим эти точки на числовой оси и определим знак выражения в каждом из полученных интервалов. Нас интересуют интервалы со знаком "минус".
Решением являются интервалы $(-8, -2)$ и $(0, 2)$.
Ответ: $x \in (-8, -2) \cup (0, 2)$.

б) Решим неравенство $\frac{5}{x+4} < 1 + \frac{1}{4-x}$.
ОДЗ: $x+4 \neq 0$ и $4-x \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$ и $x \neq 4$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{5}{x+4} - 1 - \frac{1}{4-x} < 0$
Приведем к общему знаменателю $(x+4)(4-x)$:
$\frac{5(4-x) - 1(x+4)(4-x) - 1(x+4)}{(x+4)(4-x)} < 0$
Упростим числитель:
$\frac{20-5x - (16-x^2) - x-4}{(x+4)(4-x)} < 0$
$\frac{20-5x-16+x^2-x-4}{(x+4)(4-x)} < 0$
$\frac{x^2-6x}{(x+4)(4-x)} < 0$
Вынесем $x$ в числителе и минус в знаменателе:
$\frac{x(x-6)}{-(x-4)(x+4)} < 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x(x-6)}{(x-4)(x+4)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=6$. Нули знаменателя: $x=4$, $x=-4$.
На числовой оси отмечаем точки -4, 0, 4, 6. Нас интересуют интервалы со знаком "плюс".
Решением являются интервалы $(-\infty, -4)$, $(0, 4)$ и $(6, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (0, 4) \cup (6, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{2}{3-x} > 1 - \frac{1}{x+3}$.
ОДЗ: $3-x \neq 0$ и $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{2}{3-x} - 1 + \frac{1}{x+3} > 0$
Приведем к общему знаменателю $(3-x)(x+3)$:
$\frac{2(x+3) - 1(3-x)(x+3) + 1(3-x)}{(3-x)(x+3)} > 0$
Упростим числитель:
$\frac{2x+6 - (9-x^2) + 3-x}{(3-x)(x+3)} > 0$
$\frac{2x+6-9+x^2+3-x}{(3-x)(x+3)} > 0$
$\frac{x^2+x}{(3-x)(x+3)} > 0$
$\frac{x(x+1)}{-(x-3)(x+3)} > 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x(x+1)}{(x-3)(x+3)} < 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=-1$. Нули знаменателя: $x=3$, $x=-3$.
На числовой оси отмечаем точки -3, -1, 0, 3. Нас интересуют интервалы со знаком "минус".
Решением являются интервалы $(-3, -1)$ и $(0, 3)$.
Ответ: $x \in (-3, -1) \cup (0, 3)$.

г) Решим неравенство $\frac{7}{x+5} < 1 + \frac{2}{5-x}$.
ОДЗ: $x+5 \neq 0$ и $5-x \neq 0$, следовательно, $x \neq -5$ и $x \neq 5$.
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$\frac{7}{x+5} - 1 - \frac{2}{5-x} < 0$
Приведем к общему знаменателю $(x+5)(5-x)$:
$\frac{7(5-x) - 1(x+5)(5-x) - 2(x+5)}{(x+5)(5-x)} < 0$
Упростим числитель:
$\frac{35-7x - (25-x^2) - 2x-10}{(x+5)(5-x)} < 0$
$\frac{35-7x-25+x^2-2x-10}{(x+5)(5-x)} < 0$
$\frac{x^2-9x}{(x+5)(5-x)} < 0$
$\frac{x(x-9)}{-(x-5)(x+5)} < 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$\frac{x(x-9)}{(x-5)(x+5)} > 0$
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=0$, $x=9$. Нули знаменателя: $x=5$, $x=-5$.
На числовой оси отмечаем точки -5, 0, 5, 9. Нас интересуют интервалы со знаком "плюс".
Решением являются интервалы $(-\infty, -5)$, $(0, 5)$ и $(9, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -5) \cup (0, 5) \cup (9, +\infty)$.