Номер 98, страница 373 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Решение неравенств - номер 98, страница 373.

Условие.

98 а) $\frac{x^2 - 6x + 5}{x^2 - 1} > \frac{x - 5}{x - 1}$. Укажите наибольшее целое решение.

б) $\frac{x^2 - x - 6}{(x + 5)^2} < 1$. Укажите наименьшее целое решение.

в) $\frac{x^2 + 5x + 1}{x^2 + 2x + 4} \le 1$. Укажите наибольшее целое решение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим неравенство $\frac{x^2 - 6x + 5}{x^2 - 1} > \frac{x - 5}{x - 1}$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю, поэтому $x^2 - 1 \neq 0$ и $x - 1 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
Разложим на множители числитель и знаменатель левой части неравенства:
$x^2 - 6x + 5 = (x-1)(x-5)$ (по теореме Виета)
$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$ (формула разности квадратов)
Подставим разложения в исходное неравенство:
$\frac{(x-1)(x-5)}{(x-1)(x+1)} > \frac{x-5}{x-1}$
Так как по ОДЗ $x \neq 1$, мы можем сократить дробь в левой части на $(x-1)$:
$\frac{x-5}{x+1} > \frac{x-5}{x-1}$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{x-5}{x+1} - \frac{x-5}{x-1} > 0$
Вынесем общий множитель $(x-5)$ за скобки:
$(x-5) \left( \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} \right) > 0$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$(x-5) \left( \frac{(x-1) - (x+1)}{(x+1)(x-1)} \right) > 0$
$(x-5) \left( \frac{x - 1 - x - 1}{x^2 - 1} \right) > 0$
$(x-5) \left( \frac{-2}{x^2 - 1} \right) > 0$
Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{x-5}{x^2 - 1} < 0$ или $\frac{x-5}{(x-1)(x+1)} < 0$
Решим полученное неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси нули числителя и знаменателя: -1, 1, 5.
Проверим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 5$: $\frac{+}{(+)(+)} = +$
- при $1 < x < 5$: $\frac{-}{(+)(+)} = -$ (подходит)
- при $-1 < x < 1$: $\frac{-}{(-)(+)} = +$
- при $x < -1$: $\frac{-}{(-)(-)} = -$ (подходит)
Решением неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 5)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.
Наибольшее целое число, принадлежащее этому множеству, - это 4.
Ответ: 4

б) Решим неравенство $\frac{x^2 - x - 6}{(x+5)^2} < 1$.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $(x+5)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$.
Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x^2 - x - 6}{(x+5)^2} - 1 < 0$
$\frac{x^2 - x - 6 - (x+5)^2}{(x+5)^2} < 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{x^2 - x - 6 - (x^2 + 10x + 25)}{(x+5)^2} < 0$
$\frac{x^2 - x - 6 - x^2 - 10x - 25}{(x+5)^2} < 0$
$\frac{-11x - 31}{(x+5)^2} < 0$
Знаменатель $(x+5)^2$ всегда положителен для любого $x$ из ОДЗ. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя:
$-11x - 31 < 0$
$-11x < 31$
При делении на отрицательное число (-11) знак неравенства меняется:
$x > -\frac{31}{11}$
$x > -2\frac{9}{11}$
Решение неравенства: $x \in (-31/11, +\infty)$. Это решение не включает -5, так как $-5 < -31/11$.
Наименьшее целое число, которое больше $-2\frac{9}{11}$, это -2.
Ответ: -2

в) Решим неравенство $\frac{x^2 + 5x + 1}{x^2 + 2x + 4} \leq 1$.
Рассмотрим знаменатель $x^2 + 2x + 4$. Найдем его дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$.
Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$), квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 4$ принимает только положительные значения при любом $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, ОДЗ - все действительные числа. Мы можем умножить обе части неравенства на знаменатель, сохранив знак неравенства:
$x^2 + 5x + 1 \leq x^2 + 2x + 4$
Перенесем все члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую:
$x^2 - x^2 + 5x - 2x \leq 4 - 1$
$3x \leq 3$
$x \leq 1$
Решением неравенства является множество $x \in (-\infty, 1]$.
Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, равно 1.
Ответ: 1