Номер 103, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы неравенств. Задания для повторения - номер 103, страница 374.

Системы неравенств

103 Решите систему неравенств:

а)$ \begin{cases} 2x + 10 < 1.5x + 20 \\ 3x + 4 < 2x + 16 \end{cases} $

б)$ \begin{cases} x^2 - 9x + 14 < 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases} $

в)$ \begin{cases} x^2 + 6x + 5 < 0 \\ x^2 + 4x + 3 > 0 \end{cases} $

г)$ \begin{cases} 2.3x - 1.4 < 5x + 2 \\ 3.5x + 1.4 < 7x + 2.8 \end{cases} $

д)$ \begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases} $

е)$ \begin{cases} x^2 - 7x + 10 < 0 \\ x^2 - 5x + 4 > 0 \end{cases} $

а)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2x + 10 < 1.5x + 20 \\ 3x + 4 < 2x + 16 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$2x - 1.5x < 20 - 10$
$0.5x < 10$
$x < 10 / 0.5$
$x < 20$

Решим второе неравенство:
$3x - 2x < 16 - 4$
$x < 12$

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно, чтобы выполнялись оба условия: $x < 20$ и $x < 12$. Наиболее сильным является второе неравенство. Следовательно, решением системы является $x < 12$.
Ответ: $(-\infty; 12)$.

б)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 9x + 14 < 0 \\ x - 4 < 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 9x + 14 < 0$. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 9, а произведение равно 14. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 7$.
Парабола $y = x^2 - 9x + 14$ имеет ветви, направленные вверх. Значения функции меньше нуля между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $2 < x < 7$.

Решим второе неравенство:
$x - 4 < 0$
$x < 4$

Найдем пересечение решений: $(2; 7)$ и $(-\infty; 4)$. Общим решением является интервал $2 < x < 4$.
Ответ: $(2; 4)$.

в)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 + 6x + 5 < 0 \\ x^2 + 4x + 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + 6x + 5 < 0$. Корни уравнения $x^2 + 6x + 5 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -5$, $x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 + 6x + 5$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется между корнями: $-5 < x < -1$.

Решим второе неравенство $x^2 + 4x + 3 > 0$. Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 + 4x + 3$ имеет ветви вверх, значит, неравенство выполняется вне корней: $x < -3$ или $x > -1$.

Найдем пересечение решений: интервала $(-5; -1)$ и объединения интервалов $(-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.
Пересечение $(-5; -1)$ и $(-\infty; -3)$ дает интервал $(-5; -3)$.
Пересечение $(-5; -1)$ и $(-1; +\infty)$ является пустым множеством.
Следовательно, решением системы является интервал $-5 < x < -3$.
Ответ: $(-5; -3)$.

г)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} 2.3x - 1.4 < 5x + 2 \\ 3.5x + 1.4 < 7x + 2.8 \end{cases}$

Решим первое неравенство:
$-1.4 - 2 < 5x - 2.3x$
$-3.4 < 2.7x$
$x > -3.4 / 2.7 \implies x > -34/27$

Решим второе неравенство:
$1.4 - 2.8 < 7x - 3.5x$
$-1.4 < 3.5x$
$x > -1.4 / 3.5 \implies x > -14/35 \implies x > -2/5$

Найдем пересечение решений: $x > -34/27$ и $x > -2/5$.
Сравним числа: $-34/27 \approx -1.26$ и $-2/5 = -0.4$.
Так как $-0.4 > -1.26$, то условие $x > -2/5$ является более строгим. Решением системы является $x > -2/5$.
Ответ: $(-2/5; +\infty)$.

д)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 6x + 8 < 0 \\ x - 3 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 6x + 8 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - 6x + 8$ имеет ветви вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями: $2 < x < 4$.

Решим второе неравенство:
$x - 3 > 0$
$x > 3$

Найдем пересечение решений: $(2; 4)$ и $(3; +\infty)$. Общим решением является интервал $3 < x < 4$.
Ответ: $(3; 4)$.

е)

Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 7x + 10 < 0 \\ x^2 - 5x + 4 > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 7x + 10 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.
Парабола $y = x^2 - 7x + 10$ имеет ветви вверх, значит, решение неравенства: $2 < x < 5$.

Решим второе неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Парабола $y = x^2 - 5x + 4$ имеет ветви вверх, значит, решение неравенства: $x < 1$ или $x > 4$.

Найдем пересечение решений: интервала $(2; 5)$ и объединения интервалов $(-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.
Пересечение $(2; 5)$ и $(-\infty; 1)$ пусто.
Пересечение $(2; 5)$ и $(4; +\infty)$ дает интервал $(4; 5)$.
Таким образом, решением системы является интервал $4 < x < 5$.
Ответ: $(4; 5)$.