Номер 107, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 107, страница 375.

107 Первый и последний члены арифметической прогрессии, имеющей 7 членов, равны 11 и 35 соответственно. Сколько членов в другой конечной арифметической прогрессии, первый и последний члены которой равны 38 и 13 соответственно, если четвёртые члены этих прогрессий равны?

Пусть первая арифметическая прогрессия обозначается как $(a_n)$, а вторая — как $(b_k)$.

1. Анализ первой арифметической прогрессии $(a_n)$.
По условию, в этой прогрессии 7 членов, то есть $n=7$.
Первый член $a_1 = 11$.
Последний (седьмой) член $a_7 = 35$.
Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, чтобы найти её разность $d_1$.
$a_7 = a_1 + (7-1)d_1$
$35 = 11 + 6d_1$
$6d_1 = 35 - 11$
$6d_1 = 24$
$d_1 = \frac{24}{6} = 4$
Теперь мы можем найти четвертый член первой прогрессии $a_4$:
$a_4 = a_1 + (4-1)d_1$
$a_4 = 11 + 3 \cdot 4 = 11 + 12 = 23$

2. Анализ второй арифметической прогрессии $(b_k)$.
По условию, первый член этой прогрессии $b_1 = 38$.
Последний член $b_k = 13$.
Известно, что четвертые члены обеих прогрессий равны, следовательно, $b_4 = a_4 = 23$.
Найдем разность второй прогрессии $d_2$, используя известные значения $b_1$ и $b_4$:
$b_4 = b_1 + (4-1)d_2$
$23 = 38 + 3d_2$
$3d_2 = 23 - 38$
$3d_2 = -15$
$d_2 = \frac{-15}{3} = -5$
Теперь, зная первый член $b_1$, последний член $b_k$ и разность $d_2$, мы можем найти общее количество членов $k$ во второй прогрессии:
$b_k = b_1 + (k-1)d_2$
$13 = 38 + (k-1)(-5)$
$13 - 38 = -5(k-1)$
$-25 = -5(k-1)$
$k-1 = \frac{-25}{-5}$
$k-1 = 5$
$k = 5 + 1 = 6$
Таким образом, вторая арифметическая прогрессия состоит из 6 членов.

Ответ: 6