Номер 114, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087768-8

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 10 классе

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 114, страница 375.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№114 (с. 375)
Условие. №114 (с. 375)
скриншот условия
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 375, номер 114, Условие Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 375, номер 114, Условие (продолжение 2)

114 a) Первые три члена возрастающей арифметической прогрессии при некотором значении $m$ могут быть представлены соответственно тремя выражениями: $m + 1$, $4m - 9$, $2m + 1$. На сколько больше сумма первых сорока трёх членов этой прогрессии суммы первых сорока её членов?

б) Первые три члена убывающей арифметической прогрессии при некотором значении $n$ могут быть представлены соответственно тремя выражениями: $n + 3$, $6n - 11$, $3n - 9$. На сколько меньше сумма первых тридцати членов этой прогрессии суммы первых двадцати семи её членов?

Решение 1. №114 (с. 375)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 375, номер 114, Решение 1 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 375, номер 114, Решение 1 (продолжение 2)
Решение 2. №114 (с. 375)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 375, номер 114, Решение 2
Решение 3. №114 (с. 375)
Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 375, номер 114, Решение 3 Алгебра, 10 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 375, номер 114, Решение 3 (продолжение 2)
Решение 5. №114 (с. 375)

а)

Для любой арифметической прогрессии $(a_n)$ верно, что каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Для первых трёх членов $a_1, a_2, a_3$ это свойство записывается как: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Подставим данные в условии выражения для членов прогрессии: $a_1 = m + 1$, $a_2 = 4m - 9$ и $a_3 = 2m + 1$. $4m - 9 = \frac{(m + 1) + (2m + 1)}{2}$ $2(4m - 9) = 3m + 2$ $8m - 18 = 3m + 2$ $5m = 20$ $m = 4$

Теперь найдем первые три члена прогрессии, подставив значение $m=4$: $a_1 = 4 + 1 = 5$ $a_2 = 4(4) - 9 = 16 - 9 = 7$ $a_3 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$

Прогрессия имеет вид 5, 7, 9, ... Это возрастающая арифметическая прогрессия, что соответствует условию задачи. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 7 - 5 = 2$

Нужно найти, на сколько сумма первых сорока трёх членов ($S_{43}$) больше суммы первых сорока членов ($S_{40}$). Эта разность равна сумме 41-го, 42-го и 43-го членов прогрессии: $S_{43} - S_{40} = a_{41} + a_{42} + a_{43}$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_{41} = a_1 + (41-1)d = 5 + 40 \cdot 2 = 5 + 80 = 85$ $a_{42} = a_1 + (42-1)d = 5 + 41 \cdot 2 = 5 + 82 = 87$ $a_{43} = a_1 + (43-1)d = 5 + 42 \cdot 2 = 5 + 84 = 89$

Теперь найдем их сумму: $85 + 87 + 89 = 261$

Ответ: 261

б)

Аналогично пункту а), используем свойство арифметической прогрессии: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$. Подставим выражения для членов прогрессии: $a_1 = n + 3$, $a_2 = 6n - 11$ и $a_3 = 3n - 9$. $6n - 11 = \frac{(n + 3) + (3n - 9)}{2}$ $2(6n - 11) = 4n - 6$ $12n - 22 = 4n - 6$ $8n = 16$ $n = 2$

Найдем первые три члена прогрессии при $n=2$: $a_1 = 2 + 3 = 5$ $a_2 = 6(2) - 11 = 12 - 11 = 1$ $a_3 = 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3$

Прогрессия имеет вид 5, 1, -3, ... Это убывающая арифметическая прогрессия, что соответствует условию. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 1 - 5 = -4$

Нужно найти, на сколько сумма первых тридцати членов ($S_{30}$) меньше суммы первых двадцати семи членов ($S_{27}$). Это эквивалентно нахождению разности $S_{27} - S_{30}$. $S_{27} - S_{30} = S_{27} - (S_{27} + a_{28} + a_{29} + a_{30}) = -(a_{28} + a_{29} + a_{30})$

Найдем 28-й, 29-й и 30-й члены прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_{28} = a_1 + (28-1)d = 5 + 27 \cdot (-4) = 5 - 108 = -103$ $a_{29} = a_1 + (29-1)d = 5 + 28 \cdot (-4) = 5 - 112 = -107$ $a_{30} = a_1 + (30-1)d = 5 + 29 \cdot (-4) = 5 - 116 = -111$

Найдем их сумму: $a_{28} + a_{29} + a_{30} = -103 - 107 - 111 = -321$

Тогда искомая разность равна: $S_{27} - S_{30} = -(-321) = 321$

Ответ: 321

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 114 расположенного на странице 375 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №114 (с. 375), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться