Номер 114, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 114, страница 375.

Условие.

114 a) Первые три члена возрастающей арифметической прогрессии при некотором значении $m$ могут быть представлены соответственно тремя выражениями: $m + 1$, $4m - 9$, $2m + 1$. На сколько больше сумма первых сорока трёх членов этой прогрессии суммы первых сорока её членов?

б) Первые три члена убывающей арифметической прогрессии при некотором значении $n$ могут быть представлены соответственно тремя выражениями: $n + 3$, $6n - 11$, $3n - 9$. На сколько меньше сумма первых тридцати членов этой прогрессии суммы первых двадцати семи её членов?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Для любой арифметической прогрессии $(a_n)$ верно, что каждый её член, начиная со второго, является средним арифметическим соседних с ним членов. Для первых трёх членов $a_1, a_2, a_3$ это свойство записывается как: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$

Подставим данные в условии выражения для членов прогрессии: $a_1 = m + 1$, $a_2 = 4m - 9$ и $a_3 = 2m + 1$. $4m - 9 = \frac{(m + 1) + (2m + 1)}{2}$ $2(4m - 9) = 3m + 2$ $8m - 18 = 3m + 2$ $5m = 20$ $m = 4$

Теперь найдем первые три члена прогрессии, подставив значение $m=4$: $a_1 = 4 + 1 = 5$ $a_2 = 4(4) - 9 = 16 - 9 = 7$ $a_3 = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$

Прогрессия имеет вид 5, 7, 9, ... Это возрастающая арифметическая прогрессия, что соответствует условию задачи. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 7 - 5 = 2$

Нужно найти, на сколько сумма первых сорока трёх членов ($S_{43}$) больше суммы первых сорока членов ($S_{40}$). Эта разность равна сумме 41-го, 42-го и 43-го членов прогрессии: $S_{43} - S_{40} = a_{41} + a_{42} + a_{43}$

Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_{41} = a_1 + (41-1)d = 5 + 40 \cdot 2 = 5 + 80 = 85$ $a_{42} = a_1 + (42-1)d = 5 + 41 \cdot 2 = 5 + 82 = 87$ $a_{43} = a_1 + (43-1)d = 5 + 42 \cdot 2 = 5 + 84 = 89$

Теперь найдем их сумму: $85 + 87 + 89 = 261$

Ответ: 261

б)

Аналогично пункту а), используем свойство арифметической прогрессии: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$. Подставим выражения для членов прогрессии: $a_1 = n + 3$, $a_2 = 6n - 11$ и $a_3 = 3n - 9$. $6n - 11 = \frac{(n + 3) + (3n - 9)}{2}$ $2(6n - 11) = 4n - 6$ $12n - 22 = 4n - 6$ $8n = 16$ $n = 2$

Найдем первые три члена прогрессии при $n=2$: $a_1 = 2 + 3 = 5$ $a_2 = 6(2) - 11 = 12 - 11 = 1$ $a_3 = 3(2) - 9 = 6 - 9 = -3$

Прогрессия имеет вид 5, 1, -3, ... Это убывающая арифметическая прогрессия, что соответствует условию. Найдем разность прогрессии $d$: $d = a_2 - a_1 = 1 - 5 = -4$

Нужно найти, на сколько сумма первых тридцати членов ($S_{30}$) меньше суммы первых двадцати семи членов ($S_{27}$). Это эквивалентно нахождению разности $S_{27} - S_{30}$. $S_{27} - S_{30} = S_{27} - (S_{27} + a_{28} + a_{29} + a_{30}) = -(a_{28} + a_{29} + a_{30})$

Найдем 28-й, 29-й и 30-й члены прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$: $a_{28} = a_1 + (28-1)d = 5 + 27 \cdot (-4) = 5 - 108 = -103$ $a_{29} = a_1 + (29-1)d = 5 + 28 \cdot (-4) = 5 - 112 = -107$ $a_{30} = a_1 + (30-1)d = 5 + 29 \cdot (-4) = 5 - 116 = -111$

Найдем их сумму: $a_{28} + a_{29} + a_{30} = -103 - 107 - 111 = -321$

Тогда искомая разность равна: $S_{27} - S_{30} = -(-321) = 321$

Ответ: 321