Номер 108, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 108, страница 375.

108 a) Найдите сумму первых ста натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1.

б) Найдите сумму всех натуральных чисел, меньших 100, которые не кратны 5.

а)

Натуральные числа, которые при делении на 5 дают остаток 1, образуют арифметическую прогрессию. Первым членом этой прогрессии является $a_1 = 1$. Каждое следующее число на 5 больше предыдущего, поэтому разность прогрессии $d = 5$. Нам необходимо найти сумму первых ста таких чисел, то есть $n=100$.

Последовательность чисел: 1, 6, 11, 16, ...

Сначала найдем 100-й член прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{100} = 1 + (100 - 1) \cdot 5 = 1 + 99 \cdot 5 = 1 + 495 = 496$.

Теперь вычислим сумму первых 100 членов по формуле суммы арифметической прогрессии $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$:
$S_{100} = \frac{1 + 496}{2} \cdot 100 = \frac{497}{2} \cdot 100 = 497 \cdot 50 = 24850$.

Ответ: 24850.

б)

Чтобы найти сумму всех натуральных чисел, меньших 100, которые не кратны 5, мы найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99 и вычтем из нее сумму тех чисел из этого же диапазона, которые кратны 5.

1. Найдем сумму всех натуральных чисел от 1 до 99. Эта последовательность является арифметической прогрессией, в которой $a_1 = 1$, $a_{99} = 99$ и количество членов $n = 99$.
Сумма $S_{всего} = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 99}{2} \cdot 99 = 50 \cdot 99 = 4950$.

2. Найдем сумму натуральных чисел, меньших 100, которые кратны 5. Это последовательность: 5, 10, 15, ..., 95. Она также является арифметической прогрессией.
Первый член $b_1 = 5$, последний член $b_m = 95$, разность $d=5$.
Найдем количество членов $m$ по формуле n-го члена $b_m = b_1 + (m-1)d$:
$95 = 5 + (m-1) \cdot 5 \Rightarrow 90 = 5(m-1) \Rightarrow m-1 = 18 \Rightarrow m=19$.
Теперь найдем сумму этой прогрессии $S_{кратные 5}$:
$S_{кратные 5} = \frac{b_1 + b_m}{2} \cdot m = \frac{5 + 95}{2} \cdot 19 = \frac{100}{2} \cdot 19 = 50 \cdot 19 = 950$.

3. Вычтем из общей суммы сумму чисел, кратных 5, чтобы получить искомый результат:
$S = S_{всего} - S_{кратные 5} = 4950 - 950 = 4000$.

Ответ: 4000.