Номер 104, страница 374 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Системы неравенств. Задания для повторения - номер 104, страница 374.

104 Решите двойное неравенство:

а) $0 < \frac{2}{x} \le 2 + \frac{3}{x+1}$;

б) $0 \le \frac{6}{x-1} < 1 + \frac{2}{x-2}$.

а)

Исходное двойное неравенство $0 < \dfrac{2}{x} \leq 2 + \dfrac{3}{x+1}$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} \dfrac{2}{x} > 0 \\ \dfrac{2}{x} \leq 2 + \dfrac{3}{x+1} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$ и $x \neq -1$.

1. Решим первое неравенство: $\dfrac{2}{x} > 0$.

Так как числитель $2$ положителен, для выполнения неравенства знаменатель также должен быть положителен: $x > 0$.

Решение первого неравенства: $x \in (0, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\dfrac{2}{x} \leq 2 + \dfrac{3}{x+1}$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$\dfrac{2}{x} - 2 - \dfrac{3}{x+1} \leq 0$

Приведем к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\dfrac{2(x+1) - 2x(x+1) - 3x}{x(x+1)} \leq 0$

$\dfrac{2x + 2 - 2x^2 - 2x - 3x}{x(x+1)} \leq 0$

$\dfrac{-2x^2 - 3x + 2}{x(x+1)} \leq 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\dfrac{2x^2 + 3x - 2}{x(x+1)} \geq 0$

Найдем корни числителя $2x^2 + 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \dfrac{-3 - 5}{4} = -2$, $x_2 = \dfrac{-3 + 5}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Неравенство принимает вид:

$\dfrac{2(x+2)(x - 1/2)}{x(x+1)} \geq 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $-2$ и $1/2$ (входят в решение). Корни знаменателя: $-1$ и $0$ (не входят в решение).

На числовой оси отмечаем точки $-2, -1, 0, 1/2$. Определяем знаки выражения в полученных интервалах:

$(-\infty, -2]$: знак +

$(-2, -1)$: знак -

$(-1, 0)$: знак +

$(0, 1/2]$: знак -

$[1/2, +\infty)$: знак +

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 0) \cup [1/2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$x \in (0, +\infty)$ и $x \in (-\infty, -2] \cup (-1, 0) \cup [1/2, +\infty)$.

Пересечением этих множеств является интервал $[1/2, +\infty)$.

Ответ: $x \in [1/2, +\infty)$.

б)

Исходное двойное неравенство $0 \leq \dfrac{6}{x-1} < 1 + \dfrac{2}{x-2}$ равносильно системе двух неравенств:

$\begin{cases} 0 \leq \dfrac{6}{x-1} \\ \dfrac{6}{x-1} < 1 + \dfrac{2}{x-2} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$ и $x \neq 2$.

1. Решим первое неравенство: $0 \leq \dfrac{6}{x-1}$.

Так как числитель $6$ положителен, а дробь не может равняться нулю, то неравенство сводится к $\dfrac{6}{x-1} > 0$. Это выполняется, когда знаменатель положителен:

$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

Решение первого неравенства: $x \in (1, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\dfrac{6}{x-1} < 1 + \dfrac{2}{x-2}$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$\dfrac{6}{x-1} - 1 - \dfrac{2}{x-2} < 0$

Приведем к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$:

$\dfrac{6(x-2) - (x-1)(x-2) - 2(x-1)}{(x-1)(x-2)} < 0$

$\dfrac{6x - 12 - (x^2 - 3x + 2) - 2x + 2}{(x-1)(x-2)} < 0$

$\dfrac{6x - 12 - x^2 + 3x - 2 - 2x + 2}{(x-1)(x-2)} < 0$

$\dfrac{-x^2 + 7x - 12}{(x-1)(x-2)} < 0$

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\dfrac{x^2 - 7x + 12}{(x-1)(x-2)} > 0$

Найдем корни числителя $x^2 - 7x + 12 = 0$.

По теореме Виета, корни $x_1 = 3$, $x_2 = 4$.

Неравенство принимает вид:

$\dfrac{(x-3)(x-4)}{(x-1)(x-2)} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $1, 2, 3, 4$ (все точки выколотые).

На числовой оси отмечаем точки $1, 2, 3, 4$. Определяем знаки выражения в полученных интервалах:

$(-\infty, 1)$: знак +

$(1, 2)$: знак -

$(2, 3)$: знак +

$(3, 4)$: знак -

$(4, +\infty)$: знак +

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 1) \cup (2, 3) \cup (4, +\infty)$.

3. Найдем пересечение решений обоих неравенств:

$x \in (1, +\infty)$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (2, 3) \cup (4, +\infty)$.

Пересечением этих множеств является объединение интервалов $(2, 3) \cup (4, +\infty)$.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (4, +\infty)$.