Номер 111, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 111, страница 375.

111 a) Пятый член геометрической прогрессии равен 32, а восьмой 256. Найдите второй член прогрессии.

б) Восьмой член геометрической прогрессии равен 256, а первый член равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

а) Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ – первый член, а $q$ – знаменатель прогрессии. Также верно соотношение, связывающее любые два члена прогрессии: $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

По условию, пятый член прогрессии $b_5 = 32$, а восьмой член $b_8 = 256$. Используем эти данные, чтобы найти знаменатель прогрессии $q$.

Выразим $b_8$ через $b_5$:

$b_8 = b_5 \cdot q^{8-5}$

$256 = 32 \cdot q^3$

Разделим обе части уравнения на 32:

$q^3 = \frac{256}{32} = 8$

Отсюда находим значение знаменателя:

$q = \sqrt[3]{8} = 2$

Теперь, зная знаменатель $q=2$, мы можем найти второй член прогрессии $b_2$. Выразим известный нам пятый член $b_5$ через искомый второй член $b_2$:

$b_5 = b_2 \cdot q^{5-2}$

$b_5 = b_2 \cdot q^3$

Подставим известные значения $b_5 = 32$ и $q=2$ в формулу:

$32 = b_2 \cdot 2^3$

$32 = b_2 \cdot 8$

Теперь найдем $b_2$:

$b_2 = \frac{32}{8} = 4$

Ответ: 4

б) По условию, восьмой член геометрической прогрессии $b_8 = 256$, а первый член $b_1 = 2$. Требуется найти знаменатель прогрессии $q$.

Используем основную формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Подставим в эту формулу известные нам значения для $n=8$:

$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$

$256 = 2 \cdot q^7$

Чтобы найти $q^7$, разделим обе части уравнения на 2:

$q^7 = \frac{256}{2} = 128$

Для нахождения $q$ необходимо извлечь корень седьмой степени из 128. Мы знаем, что $2^7 = 128$.

Следовательно, знаменатель прогрессии равен:

$q = \sqrt[7]{128} = 2$

Ответ: 2