Номер 117, страница 376 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 117, страница 376.

117 а) Сумма членов конечной геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель положителен, равна $\frac{40}{27}$, а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т. д.) равна $\frac{20}{27}$. Найдите знаменатель прогрессии.

б) Сумма членов конечной геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, а знаменатель положителен, равна $\frac{21}{16}$, а сумма тех же членов с чередующимися знаками (первый — со знаком «плюс», второй — со знаком «минус» и т. д.) равна $\frac{13}{16}$. Найдите знаменатель прогрессии.

а)

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, \ldots, b_n$ с числом членов $n$. По условию, первый член прогрессии $b_1 = 1$, а ее знаменатель $q$ положителен ($q > 0$).

Сумма членов этой прогрессии $S_n$ вычисляется по формуле $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. Подставив известные значения, получим первое уравнение:
$S_n = \frac{1 \cdot (q^n - 1)}{q - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1} = \frac{40}{27}$ (1)

Сумма тех же членов с чередующимися знаками, $S'_n = b_1 - b_2 + b_3 - \ldots$, представляет собой сумму другой геометрической прогрессии, у которой первый член равен 1, а знаменатель равен $(-q)$. Ее сумма вычисляется по формуле $S'_n = \frac{b_1((-q)^n - 1)}{-q - 1}$. Подставив известные значения, получим второе уравнение:
$S'_n = \frac{1 \cdot ((-q)^n - 1)}{-q - 1} = \frac{1 - (-q)^n}{1 + q} = \frac{20}{27}$ (2)

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с неизвестными $q$ и $n$. Решение зависит от четности числа членов $n$.

Случай 1: $n$ — четное число.
В этом случае $(-q)^n = q^n$. Уравнение (2) принимает вид:
$\frac{1 - q^n}{1 + q} = \frac{20}{27}$
Из уравнения (1) выразим $q^n - 1 = \frac{40}{27}(q - 1)$, что эквивалентно $1 - q^n = -\frac{40}{27}(q - 1)$. Подставим это выражение в уравнение для $S'_n$:
$\frac{-\frac{40}{27}(q - 1)}{1 + q} = \frac{20}{27}$
Разделим обе части на $\frac{20}{27}$:
$\frac{-2(q - 1)}{1 + q} = 1$
$-2(q - 1) = 1 + q$
$-2q + 2 = 1 + q$
$1 = 3q \implies q = \frac{1}{3}$
Проверим, существует ли целое четное $n$, удовлетворяющее условиям. Подставим $q = 1/3$ в уравнение (1):
$\frac{(1/3)^n - 1}{1/3 - 1} = \frac{40}{27} \implies \frac{(1/3)^n - 1}{-2/3} = \frac{40}{27}$
$(1/3)^n - 1 = -\frac{2}{3} \cdot \frac{40}{27} = -\frac{80}{81}$
$(1/3)^n = 1 - \frac{80}{81} = \frac{1}{81}$
Так как $\frac{1}{81} = (\frac{1}{3})^4$, получаем $n=4$. Это четное число, что соответствует предположению. Следовательно, $q = 1/3$ является решением.

Случай 2: $n$ — нечетное число.
В этом случае $(-q)^n = -q^n$. Уравнение (2) принимает вид:
$\frac{1 - (-q^n)}{1 + q} = \frac{1 + q^n}{1 + q} = \frac{20}{27}$
Из уравнения (1) выразим $q^n = 1 + \frac{40}{27}(q-1)$. Подставим это выражение:
$\frac{1 + (1 + \frac{40}{27}(q-1))}{1 + q} = \frac{20}{27} \implies \frac{2 + \frac{40}{27}(q-1)}{1 + q} = \frac{20}{27}$
$27 \cdot (2 + \frac{40}{27}(q-1)) = 20(1+q)$
$54 + 40(q-1) = 20 + 20q$
$54 + 40q - 40 = 20 + 20q$
$14 + 40q = 20 + 20q \implies 20q = 6 \implies q = \frac{3}{10}$
Проверим это значение, подставив его в выражение для $q^n$:
$q^n = 1 + \frac{40}{27}(\frac{3}{10}-1) = 1 + \frac{40}{27}(-\frac{7}{10}) = 1 - \frac{28}{27} = -\frac{1}{27}$
Так как $q = 3/10 > 0$, $q^n$ должно быть положительным для любого $n$. Полученное отрицательное значение указывает на противоречие. В этом случае решений нет.

Таким образом, единственное возможное значение знаменателя прогрессии — это $1/3$.
Ответ: $q = \frac{1}{3}$.

б)

Действуем аналогично предыдущему пункту. Условия задачи: $b_1 = 1$, $q > 0$. Сумма членов прогрессии: $S_n = \frac{q^n - 1}{q - 1} = \frac{21}{16}$ (1)
Сумма с чередующимися знаками: $S'_n = \frac{1 - (-q)^n}{1 + q} = \frac{13}{16}$ (2)

Случай 1: $n$ — четное число.
Тогда $(-q)^n = q^n$, и уравнение (2) принимает вид: $\frac{1 - q^n}{1 + q} = \frac{13}{16}$.
Из (1) имеем $1 - q^n = -\frac{21}{16}(q - 1)$. Подставляем в предыдущее равенство:
$\frac{-\frac{21}{16}(q - 1)}{1 + q} = \frac{13}{16}$
$-21(q - 1) = 13(1 + q)$
$-21q + 21 = 13 + 13q$
$8 = 34q \implies q = \frac{8}{34} = \frac{4}{17}$
Проверим это значение. Из (1) следует $q^n - 1 = \frac{21}{16}(q-1)$.
$(\frac{4}{17})^n - 1 = \frac{21}{16}(\frac{4}{17}-1) = \frac{21}{16}(-\frac{13}{17}) = -\frac{273}{272}$
$(\frac{4}{17})^n = 1 - \frac{273}{272} = -\frac{1}{272}$
Получено противоречие, так как $q > 0$, а значит $q^n$ не может быть отрицательным.

Случай 2: $n$ — нечетное число.
Тогда $(-q)^n = -q^n$, и уравнение (2) принимает вид: $\frac{1 + q^n}{1 + q} = \frac{13}{16}$.
Из (1) выражаем $q^n = 1 + \frac{21}{16}(q-1)$ и подставляем:
$\frac{1 + (1 + \frac{21}{16}(q-1))}{1 + q} = \frac{13}{16} \implies \frac{2 + \frac{21}{16}(q-1)}{1 + q} = \frac{13}{16}$
$16(2 + \frac{21}{16}(q-1)) = 13(1+q)$
$32 + 21(q-1) = 13 + 13q$
$32 + 21q - 21 = 13 + 13q$
$11 + 21q = 13 + 13q$
$8q = 2 \implies q = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Проверим, существует ли целое нечетное $n$. Подставим $q = 1/4$ в уравнение (1):
$\frac{(1/4)^n - 1}{1/4 - 1} = \frac{21}{16} \implies \frac{(1/4)^n - 1}{-3/4} = \frac{21}{16}$
$(1/4)^n - 1 = -\frac{3}{4} \cdot \frac{21}{16} = -\frac{63}{64}$
$(1/4)^n = 1 - \frac{63}{64} = \frac{1}{64}$
Так как $\frac{1}{64} = (\frac{1}{4})^3$, то $n=3$. Это нечетное число, что соответствует предположению.

Следовательно, единственным решением является $q = 1/4$.
Ответ: $q = \frac{1}{4}$.