Номер 116, страница 376 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 116, страница 376.

116 a) Сумма первых пяти членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15, а их произведение равно 1155. Найдите шестидесятый член прогрессии.

б) Сумма первых пяти членов убывающей арифметической прогрессии равна 5, а их произведение равно 280. Найдите семидесятый член прогрессии.

а) Пусть дана возрастающая арифметическая прогрессия $(a_n)$ с первым членом $a_1$ и разностью $d > 0$. Первые пять членов прогрессии можно представить в виде $a_1, a_1+d, a_1+2d, a_1+3d, a_1+4d$. Для упрощения вычислений удобнее представить их симметрично относительно среднего (третьего) члена. Пусть $a_3 = a$, тогда члены прогрессии: $a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$.
По условию, сумма первых пяти членов равна 15:
$S_5 = (a - 2d) + (a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 5a$
$5a = 15 \implies a = 3$.
Таким образом, третий член прогрессии $a_3 = 3$.
Теперь мы знаем, что члены прогрессии имеют вид: $3-2d, 3-d, 3, 3+d, 3+2d$.
Их произведение равно 1155:
$(3-2d)(3-d) \cdot 3 \cdot (3+d)(3+2d) = 1155$
Разделим обе части на 3 и сгруппируем множители, используя формулу разности квадратов:
$((3-d)(3+d)) \cdot ((3-2d)(3+2d)) = 385$
$(9 - d^2)(9 - 4d^2) = 385$
Сделаем замену $x = d^2$. Так как $d \ne 0$, то $x > 0$.
$(9 - x)(9 - 4x) = 385$
$81 - 36x - 9x + 4x^2 = 385$
$4x^2 - 45x + 81 - 385 = 0$
$4x^2 - 45x - 304 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-304) = 2025 + 4864 = 6889 = 83^2$.
$x = \frac{45 \pm 83}{8}$
$x_1 = \frac{45 + 83}{8} = \frac{128}{8} = 16$
$x_2 = \frac{45 - 83}{8} = \frac{-38}{8} = -4.75$
Поскольку $x = d^2 > 0$, нам подходит только корень $x=16$.
$d^2 = 16 \implies d = \pm 4$.
Так как прогрессия возрастающая, $d > 0$, следовательно, $d = 4$.
Теперь найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_3 = 3$ и $d=4$.
$a_3 = a_1 + 2d \implies 3 = a_1 + 2 \cdot 4 \implies 3 = a_1 + 8 \implies a_1 = -5$.
Найдем шестидесятый член прогрессии по формуле $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$a_{60} = -5 + (60 - 1) \cdot 4 = -5 + 59 \cdot 4 = -5 + 236 = 231$.
Ответ: 231

б) Пусть дана убывающая арифметическая прогрессия $(a_n)$ с разностью $d < 0$. Аналогично пункту а), представим первые пять членов симметрично относительно $a_3 = a$: $a-2d, a-d, a, a+d, a+2d$.
Сумма первых пяти членов равна 5:
$S_5 = (a - 2d) + (a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 5a$
$5a = 5 \implies a = 1$.
Третий член прогрессии $a_3 = 1$.
Члены прогрессии: $1-2d, 1-d, 1, 1+d, 1+2d$.
Их произведение равно 280:
$(1-2d)(1-d) \cdot 1 \cdot (1+d)(1+2d) = 280$
$(1 - d^2)(1 - 4d^2) = 280$
Сделаем замену $x = d^2$ ($x > 0$):
$(1 - x)(1 - 4x) = 280$
$1 - 5x + 4x^2 = 280$
$4x^2 - 5x - 279 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-279) = 25 + 4464 = 4489 = 67^2$.
$x = \frac{5 \pm 67}{8}$
$x_1 = \frac{5 + 67}{8} = \frac{72}{8} = 9$
$x_2 = \frac{5 - 67}{8} = \frac{-62}{8} = -7.75$
Поскольку $x = d^2 > 0$, подходит корень $x=9$.
$d^2 = 9 \implies d = \pm 3$.
Так как прогрессия убывающая, $d < 0$, следовательно, $d = -3$.
Найдем первый член прогрессии $a_1$. Мы знаем, что $a_3 = 1$ и $d=-3$.
$a_3 = a_1 + 2d \implies 1 = a_1 + 2 \cdot (-3) \implies 1 = a_1 - 6 \implies a_1 = 7$.
Найдем семидесятый член прогрессии:
$a_{70} = 7 + (70 - 1) \cdot (-3) = 7 + 69 \cdot (-3) = 7 - 207 = -200$.
Ответ: -200