Номер 118, страница 376 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 118, страница 376.

Условие.

118 a) В арифметической прогрессии четвёртый член равен 10. При каком значении разности прогрессии сумма квадратов второго и пятого членов этой прогрессии будет наименьшей?

б) Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 12. При каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим?

в) Разность второго и удвоенного пятого членов арифметической прогрессии равна -2. При каком значении разности прогрессии произведение третьего и четвёртого членов этой прогрессии будет наименьшим?

г) В арифметической прогрессии третий член равен 6. При каком значении разности этой прогрессии сумма попарных произведений первых трёх членов прогрессии будет наименьшей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Пусть $a_n$ — n-й член арифметической прогрессии, $d$ — её разность.По условию, четвёртый член прогрессии равен 10, то есть $a_4 = 10$.Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:$a_4 = a_1 + 3d = 10$.Отсюда выразим первый член $a_1$ через разность $d$:$a_1 = 10 - 3d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором сумма квадратов второго и пятого членов будет наименьшей. Обозначим эту сумму как $S$:$S = a_2^2 + a_5^2$.Выразим $a_2$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$, а затем через $d$:$a_2 = a_1 + d = (10 - 3d) + d = 10 - 2d$$a_5 = a_1 + 4d = (10 - 3d) + 4d = 10 + d$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $S$:$S(d) = (10 - 2d)^2 + (10 + d)^2$Раскроем скобки:$S(d) = (100 - 40d + 4d^2) + (100 + 20d + d^2)$Приведем подобные слагаемые:$S(d) = 5d^2 - 20d + 200$

Полученное выражение является квадратичной функцией от $d$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $d^2$ равен 5 (что больше нуля). Следовательно, функция имеет точку минимума в вершине параболы.Координата вершины параболы $f(x) = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.В нашем случае $a=5, b=-20$.$d = -(-20) / (2 \cdot 5) = 20 / 10 = 2$.

Ответ: 2.

б)

По условию, сумма утроенного второго и четвёртого членов равна 12:$3a_2 + a_4 = 12$.Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:$a_2 = a_1 + d$$a_4 = a_1 + 3d$

Подставим в условие:$3(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 12$$3a_1 + 3d + a_1 + 3d = 12$$4a_1 + 6d = 12$Разделим обе части на 2:$2a_1 + 3d = 6$Выразим $a_1$:$a_1 = (6 - 3d) / 2 = 3 - 1.5d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение третьего и пятого членов будет наименьшим. Обозначим это произведение как $P$:$P = a_3 \cdot a_5$.Выразим $a_3$ и $a_5$ через $d$:$a_3 = a_1 + 2d = (3 - 1.5d) + 2d = 3 + 0.5d$$a_5 = a_1 + 4d = (3 - 1.5d) + 4d = 3 + 2.5d$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $P$:$P(d) = (3 + 0.5d)(3 + 2.5d) = 9 + 7.5d + 1.5d + 1.25d^2$$P(d) = 1.25d^2 + 9d + 9$

Это квадратичная функция с ветвями параболы вверх ($a = 1.25 > 0$). Минимум достигается в вершине.$d = -b / (2a) = -9 / (2 \cdot 1.25) = -9 / 2.5 = -3.6$.

Ответ: -3,6.

в)

По условию, разность второго и удвоенного пятого членов равна -2:$a_2 - 2a_5 = -2$.Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:$a_2 = a_1 + d$$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим в условие:$(a_1 + d) - 2(a_1 + 4d) = -2$$a_1 + d - 2a_1 - 8d = -2$$-a_1 - 7d = -2$$a_1 + 7d = 2$Выразим $a_1$:$a_1 = 2 - 7d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение третьего и четвёртого членов будет наименьшим. Обозначим это произведение как $P$:$P = a_3 \cdot a_4$.Выразим $a_3$ и $a_4$ через $d$:$a_3 = a_1 + 2d = (2 - 7d) + 2d = 2 - 5d$$a_4 = a_1 + 3d = (2 - 7d) + 3d = 2 - 4d$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $P$:$P(d) = (2 - 5d)(2 - 4d) = 4 - 8d - 10d + 20d^2$$P(d) = 20d^2 - 18d + 4$

Это квадратичная функция с ветвями параболы вверх ($a = 20 > 0$). Минимум достигается в вершине.$d = -(-18) / (2 \cdot 20) = 18 / 40 = 9 / 20 = 0.45$.

Ответ: 0,45.

г)

По условию, третий член прогрессии равен 6:$a_3 = 6$.Используя формулу n-го члена, получаем:$a_3 = a_1 + 2d = 6$.Отсюда выразим $a_1$:$a_1 = 6 - 2d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором сумма попарных произведений первых трёх членов будет наименьшей. Обозначим эту сумму как $S$:$S = a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3$.Выразим все члены через $d$:$a_1 = 6 - 2d$$a_2 = a_1 + d = (6 - 2d) + d = 6 - d$$a_3 = 6$

Подставим эти выражения в формулу для $S$:$S(d) = (6 - 2d)(6 - d) + (6 - 2d) \cdot 6 + (6 - d) \cdot 6$$S(d) = (36 - 6d - 12d + 2d^2) + (36 - 12d) + (36 - 6d)$$S(d) = (2d^2 - 18d + 36) + (36 - 12d) + (36 - 6d)$

Соберем подобные слагаемые:$S(d) = 2d^2 + (-18 - 12 - 6)d + (36 + 36 + 36)$$S(d) = 2d^2 - 36d + 108$

Это квадратичная функция с ветвями параболы вверх ($a = 2 > 0$). Минимум достигается в вершине.$d = -(-36) / (2 \cdot 2) = 36 / 4 = 9$.

Ответ: 9.