Номер 118, страница 376 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 118, страница 376.

118 a) В арифметической прогрессии четвёртый член равен 10. При каком значении разности прогрессии сумма квадратов второго и пятого членов этой прогрессии будет наименьшей?

б) Сумма утроенного второго и четвёртого членов арифметической прогрессии равна 12. При каком значении разности прогрессии произведение третьего и пятого членов прогрессии будет наименьшим?

в) Разность второго и удвоенного пятого членов арифметической прогрессии равна -2. При каком значении разности прогрессии произведение третьего и четвёртого членов этой прогрессии будет наименьшим?

г) В арифметической прогрессии третий член равен 6. При каком значении разности этой прогрессии сумма попарных произведений первых трёх членов прогрессии будет наименьшей?

а)

Пусть $a_n$ — n-й член арифметической прогрессии, $d$ — её разность.По условию, четвёртый член прогрессии равен 10, то есть $a_4 = 10$.Используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:$a_4 = a_1 + 3d = 10$.Отсюда выразим первый член $a_1$ через разность $d$:$a_1 = 10 - 3d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором сумма квадратов второго и пятого членов будет наименьшей. Обозначим эту сумму как $S$:$S = a_2^2 + a_5^2$.Выразим $a_2$ и $a_5$ через $a_1$ и $d$, а затем через $d$:$a_2 = a_1 + d = (10 - 3d) + d = 10 - 2d$$a_5 = a_1 + 4d = (10 - 3d) + 4d = 10 + d$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $S$:$S(d) = (10 - 2d)^2 + (10 + d)^2$Раскроем скобки:$S(d) = (100 - 40d + 4d^2) + (100 + 20d + d^2)$Приведем подобные слагаемые:$S(d) = 5d^2 - 20d + 200$

Полученное выражение является квадратичной функцией от $d$. График этой функции — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $d^2$ равен 5 (что больше нуля). Следовательно, функция имеет точку минимума в вершине параболы.Координата вершины параболы $f(x) = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.В нашем случае $a=5, b=-20$.$d = -(-20) / (2 \cdot 5) = 20 / 10 = 2$.

Ответ: 2.

б)

По условию, сумма утроенного второго и четвёртого членов равна 12:$3a_2 + a_4 = 12$.Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:$a_2 = a_1 + d$$a_4 = a_1 + 3d$

Подставим в условие:$3(a_1 + d) + (a_1 + 3d) = 12$$3a_1 + 3d + a_1 + 3d = 12$$4a_1 + 6d = 12$Разделим обе части на 2:$2a_1 + 3d = 6$Выразим $a_1$:$a_1 = (6 - 3d) / 2 = 3 - 1.5d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение третьего и пятого членов будет наименьшим. Обозначим это произведение как $P$:$P = a_3 \cdot a_5$.Выразим $a_3$ и $a_5$ через $d$:$a_3 = a_1 + 2d = (3 - 1.5d) + 2d = 3 + 0.5d$$a_5 = a_1 + 4d = (3 - 1.5d) + 4d = 3 + 2.5d$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $P$:$P(d) = (3 + 0.5d)(3 + 2.5d) = 9 + 7.5d + 1.5d + 1.25d^2$$P(d) = 1.25d^2 + 9d + 9$

Это квадратичная функция с ветвями параболы вверх ($a = 1.25 > 0$). Минимум достигается в вершине.$d = -b / (2a) = -9 / (2 \cdot 1.25) = -9 / 2.5 = -3.6$.

Ответ: -3,6.

в)

По условию, разность второго и удвоенного пятого членов равна -2:$a_2 - 2a_5 = -2$.Выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:$a_2 = a_1 + d$$a_5 = a_1 + 4d$

Подставим в условие:$(a_1 + d) - 2(a_1 + 4d) = -2$$a_1 + d - 2a_1 - 8d = -2$$-a_1 - 7d = -2$$a_1 + 7d = 2$Выразим $a_1$:$a_1 = 2 - 7d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором произведение третьего и четвёртого членов будет наименьшим. Обозначим это произведение как $P$:$P = a_3 \cdot a_4$.Выразим $a_3$ и $a_4$ через $d$:$a_3 = a_1 + 2d = (2 - 7d) + 2d = 2 - 5d$$a_4 = a_1 + 3d = (2 - 7d) + 3d = 2 - 4d$

Теперь подставим эти выражения в формулу для $P$:$P(d) = (2 - 5d)(2 - 4d) = 4 - 8d - 10d + 20d^2$$P(d) = 20d^2 - 18d + 4$

Это квадратичная функция с ветвями параболы вверх ($a = 20 > 0$). Минимум достигается в вершине.$d = -(-18) / (2 \cdot 20) = 18 / 40 = 9 / 20 = 0.45$.

Ответ: 0,45.

г)

По условию, третий член прогрессии равен 6:$a_3 = 6$.Используя формулу n-го члена, получаем:$a_3 = a_1 + 2d = 6$.Отсюда выразим $a_1$:$a_1 = 6 - 2d$.

Нам нужно найти значение $d$, при котором сумма попарных произведений первых трёх членов будет наименьшей. Обозначим эту сумму как $S$:$S = a_1a_2 + a_1a_3 + a_2a_3$.Выразим все члены через $d$:$a_1 = 6 - 2d$$a_2 = a_1 + d = (6 - 2d) + d = 6 - d$$a_3 = 6$

Подставим эти выражения в формулу для $S$:$S(d) = (6 - 2d)(6 - d) + (6 - 2d) \cdot 6 + (6 - d) \cdot 6$$S(d) = (36 - 6d - 12d + 2d^2) + (36 - 12d) + (36 - 6d)$$S(d) = (2d^2 - 18d + 36) + (36 - 12d) + (36 - 6d)$

Соберем подобные слагаемые:$S(d) = 2d^2 + (-18 - 12 - 6)d + (36 + 36 + 36)$$S(d) = 2d^2 - 36d + 108$

Это квадратичная функция с ветвями параболы вверх ($a = 2 > 0$). Минимум достигается в вершине.$d = -(-36) / (2 \cdot 2) = 36 / 4 = 9$.

Ответ: 9.