Номер 120, страница 377 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмы. Задания для повторения - номер 120, страница 377.

Логарифмы

Вычислите (120—126):

120

а) $6^{\log_{36} 81}$

б) $5^{\log_{25} 36}$

в) $2^{\log_{0,5} 3}$

a) Для вычисления выражения $6^{\log_{36} 81}$ воспользуемся свойствами логарифмов.
Основное логарифмическое тождество имеет вид $a^{\log_a b} = b$. Чтобы его применить, необходимо, чтобы основание степени (в нашем случае 6) совпадало с основанием логарифма (в нашем случае 36).
Приведем логарифм к основанию 6. Заметим, что $36 = 6^2$. Используем формулу для логарифма от основания в степени: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$.
$\log_{36} 81 = \log_{6^2} 81 = \frac{1}{2}\log_6 81$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$6^{\log_{36} 81} = 6^{\frac{1}{2}\log_6 81}$.
Используем свойство логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:
$6^{\frac{1}{2}\log_6 81} = 6^{\log_6 81^{\frac{1}{2}}}$.
Вычислим значение $81^{\frac{1}{2}}$:
$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$.
Таким образом, выражение принимает вид:
$6^{\log_6 9}$.
Теперь, применяя основное логарифмическое тождество, получаем:
$6^{\log_6 9} = 9$.
Ответ: 9.

б) Для вычисления выражения $5^{\log_{25} 36}$ поступим аналогично предыдущему пункту.
Наша цель — привести основание логарифма (25) к основанию степени (5).
Представим основание логарифма 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$.
Воспользуемся формулой смены основания логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{25} 36 = \log_{5^2} 36 = \frac{1}{2}\log_5 36$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$5^{\log_{25} 36} = 5^{\frac{1}{2}\log_5 36}$.
Применим свойство степени логарифма $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:
$5^{\frac{1}{2}\log_5 36} = 5^{\log_5 36^{\frac{1}{2}}}$.
Вычислим значение $36^{\frac{1}{2}}$:
$36^{\frac{1}{2}} = \sqrt{36} = 6$.
В результате выражение сводится к виду:
$5^{\log_5 6}$.
Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем ответ:
$5^{\log_5 6} = 6$.
Ответ: 6.

в) Рассмотрим выражение $2^{\log_{0.5} 3}$.
Как и в предыдущих примерах, приведем основание логарифма к основанию степени. Основание степени равно 2.
Представим основание логарифма 0,5 в виде степени числа 2:
$0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Используем формулу $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:
$\log_{0.5} 3 = \log_{2^{-1}} 3 = \frac{1}{-1}\log_2 3 = -\log_2 3$.
Подставим это в исходное выражение:
$2^{\log_{0.5} 3} = 2^{-\log_2 3}$.
Воспользуемся свойством $c \cdot \log_a b = \log_a b^c$:
$2^{-\log_2 3} = 2^{\log_2 3^{-1}}$.
Так как $3^{-1} = \frac{1}{3}$, выражение принимает вид:
$2^{\log_2 \frac{1}{3}}$.
По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:
$2^{\log_2 \frac{1}{3}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.