Номер 115, страница 376 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 115, страница 376.
№115 (с. 376)
Условие. №115 (с. 376)
скриншот условия

115 a) Последовательность ${a_n}$ задана формулой общего члена $a_n = 1.5n - 6$. Сколько членов этой последовательности, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить сумму, равную 33?
б) Последовательность ${a_n}$ задана формулой общего члена $a_n = 18 - 0.25n$. Найдите сумму двадцати первых её членов.
Решение 1. №115 (с. 376)


Решение 2. №115 (с. 376)

Решение 3. №115 (с. 376)

Решение 5. №115 (с. 376)
а)
Последовательность задана формулой общего члена $a_n = 1.5n - 6$. Это формула линейной функции от $n$, следовательно, последовательность $\{a_n\}$ является арифметической прогрессией.
Найдем первый член и разность этой прогрессии.
Первый член прогрессии (при $n=1$):
$a_1 = 1.5 \cdot 1 - 6 = 1.5 - 6 = -4.5$
Второй член прогрессии (при $n=2$):
$a_2 = 1.5 \cdot 2 - 6 = 3 - 6 = -3$
Разность арифметической прогрессии:
$d = a_2 - a_1 = -3 - (-4.5) = 1.5$
Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$
По условию, сумма $S_n = 33$. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:
$33 = \frac{2(-4.5) + 1.5(n-1)}{2} \cdot n$
$33 = \frac{-9 + 1.5n - 1.5}{2} \cdot n$
$66 = (-10.5 + 1.5n) \cdot n$
$1.5n^2 - 10.5n - 66 = 0$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$3n^2 - 21n - 132 = 0$
Разделим обе части на 3 для упрощения:
$n^2 - 7n - 44 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней. Воспользуемся формулой корней:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$
$\sqrt{D} = 15$
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 15}{2} = \frac{-8}{2} = -4$
Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n_2 = -4$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, $n = 11$.
Ответ: 11.
б)
Последовательность задана формулой общего члена $a_n = 18 - 0.25n$. Эта последовательность также является арифметической прогрессией.
Требуется найти сумму первых двадцати её членов, то есть $S_{20}$.
Для вычисления суммы воспользуемся формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.
Найдем первый член прогрессии (при $n=1$):
$a_1 = 18 - 0.25 \cdot 1 = 17.75$
Найдем двадцатый член прогрессии (при $n=20$):
$a_{20} = 18 - 0.25 \cdot 20 = 18 - 5 = 13$
Теперь подставим найденные значения в формулу суммы для $n=20$:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{17.75 + 13}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (17.75 + 13) \cdot 10$
$S_{20} = 30.75 \cdot 10 = 307.5$
Ответ: 307.5.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 115 расположенного на странице 376 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №115 (с. 376), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.