Номер 115, страница 376 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 115, страница 376.

Условие.

115 a) Последовательность ${a_n}$ задана формулой общего члена $a_n = 1.5n - 6$. Сколько членов этой последовательности, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить сумму, равную 33?

б) Последовательность ${a_n}$ задана формулой общего члена $a_n = 18 - 0.25n$. Найдите сумму двадцати первых её членов.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Последовательность задана формулой общего члена $a_n = 1.5n - 6$. Это формула линейной функции от $n$, следовательно, последовательность $\{a_n\}$ является арифметической прогрессией.

Найдем первый член и разность этой прогрессии.

Первый член прогрессии (при $n=1$):
$a_1 = 1.5 \cdot 1 - 6 = 1.5 - 6 = -4.5$

Второй член прогрессии (при $n=2$):
$a_2 = 1.5 \cdot 2 - 6 = 3 - 6 = -3$

Разность арифметической прогрессии:
$d = a_2 - a_1 = -3 - (-4.5) = 1.5$

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

По условию, сумма $S_n = 33$. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:
$33 = \frac{2(-4.5) + 1.5(n-1)}{2} \cdot n$
$33 = \frac{-9 + 1.5n - 1.5}{2} \cdot n$
$66 = (-10.5 + 1.5n) \cdot n$
$1.5n^2 - 10.5n - 66 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$3n^2 - 21n - 132 = 0$

Разделим обе части на 3 для упрощения:
$n^2 - 7n - 44 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней. Воспользуемся формулой корней:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-44) = 49 + 176 = 225$
$\sqrt{D} = 15$

$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 15}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Поскольку номер члена последовательности $n$ должен быть натуральным числом, корень $n_2 = -4$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, $n = 11$.

Ответ: 11.

б)

Последовательность задана формулой общего члена $a_n = 18 - 0.25n$. Эта последовательность также является арифметической прогрессией.

Требуется найти сумму первых двадцати её членов, то есть $S_{20}$.

Для вычисления суммы воспользуемся формулой $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

Найдем первый член прогрессии (при $n=1$):
$a_1 = 18 - 0.25 \cdot 1 = 17.75$

Найдем двадцатый член прогрессии (при $n=20$):
$a_{20} = 18 - 0.25 \cdot 20 = 18 - 5 = 13$

Теперь подставим найденные значения в формулу суммы для $n=20$:
$S_{20} = \frac{a_1 + a_{20}}{2} \cdot 20$
$S_{20} = \frac{17.75 + 13}{2} \cdot 20$
$S_{20} = (17.75 + 13) \cdot 10$
$S_{20} = 30.75 \cdot 10 = 307.5$

Ответ: 307.5.