Номер 109, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Арифметическая и геометрическая прогрессии. Задания для повторения - номер 109, страница 375.
№109 (с. 375)
Условие. №109 (с. 375)
скриншот условия

109 Сумма второго и двадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 10, а произведение этих 47 членов равно $23\frac{47}{64}$. Найдите сумму первых 16 членов этой прогрессии.
Решение 1. №109 (с. 375)

Решение 2. №109 (с. 375)

Решение 3. №109 (с. 375)

Решение 5. №109 (с. 375)
Пусть дана возрастающая арифметическая прогрессия $a_n$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Условие, что прогрессия возрастающая, означает, что $d > 0$.
По условию задачи, сумма второго и двадцатого членов равна 10:
$a_2 + a_{20} = 10$
Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:
$(a_1 + (2-1)d) + (a_1 + (20-1)d) = 10$
$(a_1 + d) + (a_1 + 19d) = 10$
$2a_1 + 20d = 10$
$a_1 + 10d = 5$
Отметим, что $a_1 + 10d$ является одиннадцатым членом прогрессии, $a_{11}$. Таким образом, $a_{11} = 5$.
Далее в условии сказано, что "произведение этих 47 членов равно $23\frac{47}{64}$". Формулировка "этих 47 членов" является неоднозначной. В контексте подобных задач, наиболее вероятным является то, что это опечатка, и имелось в виду произведение упомянутых ранее членов, то есть второго и двадцатого. Примем это допущение.
Произведение второго и двадцатого членов равно $23\frac{47}{64}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$23\frac{47}{64} = \frac{23 \cdot 64 + 47}{64} = \frac{1472 + 47}{64} = \frac{1519}{64}$
Таким образом, мы имеем систему уравнений для $a_2$ и $a_{20}$:
$\begin{cases} a_2 + a_{20} = 10 \\ a_2 \cdot a_{20} = \frac{1519}{64} \end{cases}$
Согласно теореме Виета, $a_2$ и $a_{20}$ являются корнями квадратного уравнения:
$t^2 - 10t + \frac{1519}{64} = 0$
Умножим уравнение на 64, чтобы избавиться от дроби:
$64t^2 - 640t + 1519 = 0$
Найдем дискриминант:
$D = (-640)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 1519 = 409600 - 256 \cdot 1519 = 409600 - 388864 = 20736$
$\sqrt{D} = \sqrt{20736} = 144$
Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{640 - 144}{2 \cdot 64} = \frac{496}{128} = \frac{31}{8}$
$t_2 = \frac{640 + 144}{2 \cdot 64} = \frac{784}{128} = \frac{49}{8}$
Поскольку прогрессия возрастающая, то $a_2 < a_{20}$. Следовательно:
$a_2 = \frac{31}{8}$ и $a_{20} = \frac{49}{8}$
Теперь найдем разность прогрессии $d$:
$a_{20} - a_2 = 18d$
$18d = \frac{49}{8} - \frac{31}{8} = \frac{18}{8}$
$d = \frac{1}{8}$
Так как $d > 0$, условие о возрастающей прогрессии выполняется.
Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = a_2 - d = \frac{31}{8} - \frac{1}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$
Наконец, найдем сумму первых 16 членов прогрессии ($S_{16}$), используя формулу $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$:
$S_{16} = \frac{16}{2} \left( 2 \cdot \frac{15}{4} + (16-1) \cdot \frac{1}{8} \right)$
$S_{16} = 8 \left( \frac{15}{2} + \frac{15}{8} \right)$
$S_{16} = 8 \left( \frac{60}{8} + \frac{15}{8} \right)$
$S_{16} = 8 \left( \frac{75}{8} \right)$
$S_{16} = 75$
Ответ: 75
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 109 расположенного на странице 375 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №109 (с. 375), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.