Номер 109, страница 375 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Арифметическая и геометрическая прогрессии - номер 109, страница 375.

Условие.

109 Сумма второго и двадцатого членов возрастающей арифметической прогрессии равна 10, а произведение этих 47 членов равно $23\frac{47}{64}$. Найдите сумму первых 16 членов этой прогрессии.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть дана возрастающая арифметическая прогрессия $a_n$ с первым членом $a_1$ и разностью $d$. Условие, что прогрессия возрастающая, означает, что $d > 0$.

По условию задачи, сумма второго и двадцатого членов равна 10:
$a_2 + a_{20} = 10$

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$, получаем:
$(a_1 + (2-1)d) + (a_1 + (20-1)d) = 10$
$(a_1 + d) + (a_1 + 19d) = 10$
$2a_1 + 20d = 10$
$a_1 + 10d = 5$

Отметим, что $a_1 + 10d$ является одиннадцатым членом прогрессии, $a_{11}$. Таким образом, $a_{11} = 5$.

Далее в условии сказано, что "произведение этих 47 членов равно $23\frac{47}{64}$". Формулировка "этих 47 членов" является неоднозначной. В контексте подобных задач, наиболее вероятным является то, что это опечатка, и имелось в виду произведение упомянутых ранее членов, то есть второго и двадцатого. Примем это допущение.

Произведение второго и двадцатого членов равно $23\frac{47}{64}$. Переведем смешанное число в неправильную дробь:
$23\frac{47}{64} = \frac{23 \cdot 64 + 47}{64} = \frac{1472 + 47}{64} = \frac{1519}{64}$

Таким образом, мы имеем систему уравнений для $a_2$ и $a_{20}$:
$\begin{cases} a_2 + a_{20} = 10 \\ a_2 \cdot a_{20} = \frac{1519}{64} \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $a_2$ и $a_{20}$ являются корнями квадратного уравнения:
$t^2 - 10t + \frac{1519}{64} = 0$

Умножим уравнение на 64, чтобы избавиться от дроби:
$64t^2 - 640t + 1519 = 0$

Найдем дискриминант:
$D = (-640)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 1519 = 409600 - 256 \cdot 1519 = 409600 - 388864 = 20736$
$\sqrt{D} = \sqrt{20736} = 144$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{640 - 144}{2 \cdot 64} = \frac{496}{128} = \frac{31}{8}$
$t_2 = \frac{640 + 144}{2 \cdot 64} = \frac{784}{128} = \frac{49}{8}$

Поскольку прогрессия возрастающая, то $a_2 < a_{20}$. Следовательно:
$a_2 = \frac{31}{8}$ и $a_{20} = \frac{49}{8}$

Теперь найдем разность прогрессии $d$:
$a_{20} - a_2 = 18d$
$18d = \frac{49}{8} - \frac{31}{8} = \frac{18}{8}$
$d = \frac{1}{8}$
Так как $d > 0$, условие о возрастающей прогрессии выполняется.

Найдем первый член прогрессии $a_1$:
$a_1 = a_2 - d = \frac{31}{8} - \frac{1}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$

Наконец, найдем сумму первых 16 членов прогрессии ($S_{16}$), используя формулу $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$:
$S_{16} = \frac{16}{2} \left( 2 \cdot \frac{15}{4} + (16-1) \cdot \frac{1}{8} \right)$
$S_{16} = 8 \left( \frac{15}{2} + \frac{15}{8} \right)$
$S_{16} = 8 \left( \frac{60}{8} + \frac{15}{8} \right)$
$S_{16} = 8 \left( \frac{75}{8} \right)$
$S_{16} = 75$

Ответ: 75